专题52 空间向量的概念(理)(解析版)

专题52空间向量的概念（理）专题知识梳理1．空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．②相等向量：方向相同且模相等的向量．③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．④共面向量：平行于同一个平面的向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理如果两个量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O，有OP→＝xOA→＋yOB→＋(1－x－y)OM→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝1.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角cos〈a，b〉(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23考点探究考向1空间向量的线性运算【例】如图所示，在空间几何体ABCD­A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)MP→＋NC1→.【解析】(1)因为P是C1D1的中点，所以AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)因为M是AA1的中点，所以MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.因为N是BC的中点，则NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，所以MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.题组训练1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x＋y＋z＝________.【解析】连结ON，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝12b＋12c－12a，OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12a＋2312b＋12c－12a＝16a＋13b＋13c.又OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，所以x＝16，y＝13，z＝13，因此x＋y＋z＝16＋13＋13＝56.2.已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，用a，b，c表示向量MN―→＝________.【解析】如图所示，连结ON，AN，则ON―→＝12(OB―→＋OC―→)＝12(b＋c)，AN―→＝12(AC―→＋AB―→)＝12(OC―→－2OA―→＋OB―→)＝12(－2a＋b＋c)＝－a＋12b＋12c，所以MN―→＝12(ON―→＋AN―→)＝－12a＋12b＋12c.3.设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为________．【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE.OG→＝34OG1→＝34(OA→＋AG1→)＝34OA→＋12AE→＝34OA→＋14(AB→＋AC→)＝34OA→＋14(OB→－OA→＋OC→－OA→)＝14(OA→＋OB→＋OC→)，∴x＝y＝z＝14.考向2共线定理、共面定理的应用【例】如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM―→＝kAC1―→，BN―→＝kBC―→(0≤k≤1)．判断向量MN―→是否与向量AB―→，AA1―→共面．【解析】∵AM―→＝kAC1―→，BN―→＝kBC―→，∴MN―→＝MA―→＋AB―→＋BN―→＝kC1A―→＋AB―→＋kBC―→＝k(C1A―→＋BC―→)＋AB―→＝k(C1A―→＋B1C1―→)＋AB―→＝kB1A―→＋AB―→＝AB―→－kAB1―→＝AB―→－k(AA1―→＋AB―→)＝(1－k)AB―→－kAA1―→，∴由共面向量定理知向量MN―→与向量AB―→，AA1―→共面．题组训练1.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面。【解析】由已知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)．即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面．2.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是_____________.【解析】a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.3.已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于_____.【解析】由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴2x－y＝7，x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.考向3空间向量数量积的应用【例】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1→的长；(2)求BD1→与AC→夹角的余弦值．【解析】(1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6，即AC1的长为6.(2)BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD1→|＝2，|AC→|＝3，BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos〈BD1→，AC→〉＝BD1→·AC→|BD1→||AC→|＝66.即BD1→与AC→夹角的余弦值为66.题组训练1.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．【解析】(1)证明：设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN→⊥AB→，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)设向量AN→与MC→的夹角为θ.∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，MC→＝AC→－AM→＝q－12p，∴AN→·MC→＝12(q＋r)·q－12p＝12q2－12q·p＋r·q－12r·p＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，∴AN→·MC→＝|AN→||MC→|cosθ＝32a×32a×cosθ＝a22.∴cosθ＝23.∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.2.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．【解析】(1)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－110＝－1010，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.(2)方法一∵ka＋b＝(k－1，k，2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.方法二由(1)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.3.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．(1)求BN→的模；(2)求cos〈BA1→，CB1→〉的值；(3)求证：A1B⊥C1M.【解析】(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN→|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3。(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)，所以BA1→＝(1，－1,2)，CB1→＝(0,1,2)，BA1→·CB1→＝3，|BA1→|＝6，|CB1→|＝5，所以cos〈BA1→，CB1→〉＝BA1→·CB1→|BA1→||CB1→|＝3010.(3)证明由题意得C1(0,0,2)，M12，12，2，A1B→＝(－1,1，－2)，C1M→＝12，12，0，所以A1B→·C1M→＝－12＋12＋0＝0，所以A1B→⊥C1M→，即A1B⊥C1M.