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反比例函数易错清单1.利用待定系数法确定反比例函数关系式.【例1】(2014·广东梅州)已知反比例函数的图象经过点M(2,1).(1)求该函数的表达式;(2)当2x4时,求y的取值范围(直接写出结果).【解析】(1)利用待定系数法把(2,1)代入反比例函数y=中可得k的值,进而得到解析式;(2)根据y=可得x=,再根据条件2x4可得24,再解不等式即可.【答案】(1)∵反比例函数的图象经过点M(2,1).∴k=2×1=2,∴该函数的表达式为.(2),∵2x4,解得.【误区纠错】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,以及反比例函数的性质,关键是正确确定函数解析式.注意在求不等式的解时不能出错.2.反比例函数系数k的几何意义.【例2】(2014·湖南娄底)如图,M为反比例函数的图象上的一点,MA垂直y轴,垂足为A,△MAO的面积为2,则k的值为.【解析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2,然后去绝对值得到满足条件的k的值.【答案】∵MA垂直y轴,∴S△AOM=|k|,∴|k|=2,即|k|=4.而k0,∴k=4.【误区纠错】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:在反比例函数的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.3.利用数形结合解决反比例函数与不等式相关问题.【例3】(2014·四川南充)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A(2,5)和点B,与y轴相交于点C(0,7).(1)求这两个函数的解析式;(2)当x取何值时,y1y2.【解析】(1)将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k,b的值,将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值,继而可得两函数解析式;(2)寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围.∴一次函数解析式为y=-x+7.将点(2,5)代入反比例函数解析式,∴m=10.∴反比例函数解析式为.∴点D的坐标为(5,2),当0x2或x5时,y1y2.【误区纠错】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题的关键是联立解析式,求出交点坐标.本题在写取值范围时容易出错.4.反比例函数和几何图形相结合问题.【例4】(2014·四川遂宁)已知:如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)、点B(-4,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△OAB的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标,把A的坐标代入一次函数解析式求出即可;(2)求出直线AB与y轴的交点C的坐标,求出△ACO和△BOC的面积相加即可;(3)根据A,B的坐标结合图象即可得出答案.(2)如图,当x=-4时,y=-1,B(-4,-1),当y=0时,x+3=0,x=-3,故C(-3,0).(3)∵B(-4,-1),A(1,4),∴根据图象可知:当x1或-4x0时,一次函数值大于反比例函数值.【误区纠错】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数的解析式,三角形的面积,一次函数的图象等知识点,用了数形结合思想.名师点拨1.掌握反比例函数的定义,会判断反比例函数.2.会用待定系数法求反比例函数的解析式.3.会画反比例函数的图象并能说明其性质.4.借助函数思想解决实际问题.提分策略1.反比例函数值的大小比较.比较反比例函数值的大小,在同一个象限内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定.A.负数B.非正数C.正数D.不能确定又点(-1,y1)和均位于第二象限,-1-,∴y1y2.∴y1-y20,即y1-y2的值是负数.【答案】A2.与反比例函数有关的图形面积的求法.过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义.【例2】如图,点B在反比例函数(x0)的图象上,横坐标为1,过点B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为().A.1B.2C.3D.4【解析】∵点B在反比例函数(x0)的图象上,过点B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,故矩形OABC的面积S=|k|=2.【答案】B3.一次函数与反比例函数的综合题解法.主要题型:利用k值与图象的位置关系综合确定系数的符号或图象位置;已知直线与双曲线表达式求交点坐标;用待定系数法确定直线与双曲线的表达式;应用函数图象性质比较一次函数值与反比例值的大小等.解题时,一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问题.【例3】如图,一次函数y=-x+2的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,与x轴交于D点,且C,D两点关于y轴对称.(1)求A,B两点的坐标;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组然后解方程组即可得到A,B两点的坐标;(2)先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标,再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标,然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算.(3)根据坐标与线段的转换可得出AC,BD的长,然后根据三角形的面积公式即可求出答案.【答案】(1)根据题意,得解方程组,得或所以A点坐标为(-1,3),B点坐标为(3,-1).(2)把y=0代入y=-x+2,得-x+2=0,解得x=2,所以D点坐标为(2,0).因为C,D两点关于y轴对称,所以C点坐标为(-2,0).所以S△ABC=S△ACD+S△BCD4.利用反比例函数解决实际问题.把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解.【例4】实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数(k0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x=5时,y=45,求k的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.【解析】(1)①利用y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200确定最大值;②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可;(2)求出x=11时,y的值,进而得出能否驾车去上班.【答案】(1)①y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200,∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升).②∵当x=5时,y=45,y=(k0),∴k=xy=45×5=225.(2)不能驾车上班.理由如下∵晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,∴第二天早上7:00不能驾车去上班.5.利用反比例函数与几何知识相结合解题.在近几年的中考题目中,常常把几何知识和反比例函数相结合在一起,综合性强,对学生的思维能力要求高.解决此类问题的关键是熟悉常见几何图形的特征,将几何图形的隐含性质结合反比例函数知识挖掘出来.【例5】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).(1)直接写出B,C,D三点的坐标;(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.【解析】先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B,C,D三点的坐标,再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上,把A、C两点坐标代入中,得到关于a,k的方程组,从而求得k的值.【答案】(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).如图,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',设平移距离为a,则A'(2,6-a),C'(6,4-a).∵点A',点C'在的图象上,∴2(6-a)=6(4-a),解得a=3.∴点A'(2,3).∴反比例函数的解析式为.专项训练一、选择题1.(2014·江苏泰州二中模拟)如图,已知点(m,y1),(m-3,y2),(m-4,y3)在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是().A.y1y2y3B.y2y1y3C.y1y3y2D.y3y2y1(第1题)(第2题)2.(2014·山东济南二模)如图,过x轴正半轴上的任意一点P,作y轴的平行线,分别与反比例函数的图象交于A,B两点.若点C是y轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为().A.3B.4C.5D.103.(2013·新疆石河子中考一模)如图,矩形ABOC的面积为3,反比例函数的图象过点A,则k的值为().(第3题)A.3B.-1.5C.-3D.-6二、填空题4.(2014·安徽安庆正月21校联考)如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数(x0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是;点Pn的坐标是(用含n的式子表示).(第4题)5.(2013·江西高安模拟)一个函数具有下列性质:①它的图象经过点(-1,1);②它的图象在第二、四象限内;③在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则这个函数的解析式可以为.三、解答题(1)求k的值及点E的坐标;(2)若点F是边上一点,且△FCB∽△DBE,求直线FB的解析式.(第6题)7.(2014·江苏大丰模拟)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(-2,1),B(1,m)两点.(1)试确定上述反比例函数和一次函数的关系式;(2)求△AOB的面积.(第7题)8.(2013·河北一模)如图,一次函数y=mx+5的图象与反比例函数(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点,过点A作y轴的垂线,垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△OAM的面积S;(3)在y轴上求一点P,使PA+PB最小.参考答案与解析1.C[解析]根据图形,得0m-11,∴1m2,则点(m,y1)在第一象限,而点(m-3,y2),(m-4,y3)在第三象限.2.C[解析]△ABC的面积3.C[解析]根据矩形面积,得x与y的积等于3,图象过第二象限,所以k=-3.[解析]过点P1,P2向x轴作垂线,分别求出这二点的坐标.6.(1)在矩形OABC中,∵B点坐标为,∴BC边中点D的坐标为(1,3).又双曲线y=的图象经过点D(1,3),∴,解得k=3.∵点E在AB上,∴点E的横坐标为2.又经过点E,∴点E坐标为.(2)由(1),得BD=1,BE=,BC=2,∵△FBC∽△DEB,(2)在y=-x-1中,当y=0时,得x=-1.∴直线y=-x-1与x轴的交点为C(-1,0).∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC,