专题21 弧度制及任意角的三角函数(解析版)

专题21弧度制及任意角的三角函数专题知识梳理1．角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝πrad；1°＝π180rad；1rad＝180π度．④弧长公式：l＝|α|r．扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2．3．任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是|OP|＝r，一般地，我们规定：①比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝yr；②比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝xr；③比值yx(x≠0)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx．(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°α弧度数0π6π4π3π22π33π45π6π3π2sinα0122232123222120－1cosα13222120－12－22－32－10tanα03313－3－1－330(3)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示α的正弦线，α的余弦线和α的正切线．三角函数线考点探究考向1角的表示【例】(1)已知α＝－2019°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限？α2是第几象限的角？并判断tanα2sinα2cosα2的符号；2α的终边在什么位置？【解析】（1）α可以写成－6×360°＋141°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋141°(k∈Z)的形式．当k＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为141°，当k＝－1时，可得最大负角为－219°．（2）π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．①∴－α角终边落在第二象限．又由①各边都加上π，得3π2＋2kππ－α2π＋2kπ(k∈Z)．∴π－α是第四象限角．同理可知，π＋α是第一象限角．由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，可知π2＋kπα23π4＋kπ(k∈Z)，2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)，∴α2为第三或第四象限；当α2在第二象限时，tanα2＜0，sinα2＞0，cosα2＜0，所以tanα2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时，tanα2＜0，sinα2＜0，cosα2＞0，所以tanα2sinα2cosα2也取正号．因此，tanα2sinα2cosα2取正号．2α的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上．题组训练1.若角α与角8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与角α4终边相同的角是________．【解析】由题意知，α＝2kπ＋8π5，k∈Z，∴α4＝kπ2＋2π5，k∈Z，又α4∈[0,2π]，∴k＝0，α＝2π5；k＝1，α＝9π10；k＝2，α＝7π5；k＝3，α＝19π10．2.终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．【解析】如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π．3.角－870°的终边所在的象限是第__________象限【解析】由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．考向2三角函数的定义【例】已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________．【解析】∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，∴cosα＝－xx2＋36＝－513，解得x＝52或x＝－52(舍去)，∴P－52，－6，∴sinα＝－1213，∴tanα＝yx＝125，则1sinα＋1tanα＝－1312＋512＝－23．题组训练1.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为________．【解析】∵r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m0，∴4m264m2＋9＝125，即m＝12．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝________．【解析】因为α是第二象限角，所以cosα＝15x0，即x0．又cosα＝15x＝xx2＋16，解得x＝－3，所以tanα＝4x＝－43．3.（易错题）已知角α的终边在直线y＝－34x上，则2sinα＋cosα＝____．【解析】因为α的终边在直线y＝－34x上，因为α的终边为射线，所以在直线y＝－34x取两点(－4，3)或(4，－3)，所以sinα＝35cosα＝－45或sinα＝－35cosα＝45，所以2sinα＋cosα＝±25．考向3三角函数线的应用【例】函数y＝2cosx－1的定义域为____________．【解析】对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12．由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．题组训练1.函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．【解析】∵3－4sin2x0，∴sin2x34，∴－32sinx32．利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．2.函数y＝sinx－32的定义域为________．【解析】利用三角函数线(如图)，由sinx≥32，可知2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z．3.（拔高题）函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为__________________．【解析】要使原函数有意义，必须有2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．考向4扇形的基本运算【例】扇形AOB的周长为8cm．(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2或r＝1，l＝6，∴α＝lr＝23或6．(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝12lr＝14l·2r≤14·l＋2r22＝14×822＝4，当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴r＝2，∴弦长AB＝2×2sin1＝4sin1．题组训练1.已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm．【解析】设此扇形的半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝4，面积S＝12rl＝12r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2cm．从而α＝lr＝21＝2．扇形的圆心角所对的弦长为2sin1cm．2.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6cm，求扇形的弧长及所含弓形的面积．【解析】扇形的弧长l=|α|r=×6=4π(cm)．因为S扇形AOB=lr=×4π×6=12π(cm2)，S△AOB=r2sin120°=9(cm2)，所以S弓形=S扇形AOB-S△AOB=(12π-9)cm2．3.(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10，12θ·r2＝4，解得r＝1，θ＝8(舍去)或r＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12．(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40．又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100．当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．2π312121233