专题33 三角函数与向量问题(解析版)

专题33三角函数与向量问题专题知识梳理平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.考点探究【例1】(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解析】(1)∵a∥b，∴3sinx＝－3cosx，∴3sinx＋3cosx＝0，即sinx＋π6＝0.∵0≤x≤π，∴π6≤x＋π6≤76π，∴x＋π6＝π，∴x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝3cosx－3sinx＝－23sinx－π3.∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，2π3，∴－32≤sinx－π3≤1，∴－23≤f(x)≤3，当x－π3＝－π3，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－π3＝π2，即x＝5π6时，f(x)取得最小值－23.【例2】(2018·南京模拟)已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈0，π2，t为实数.(1)若a－b＝25，0，求t的值；(2)若t＝1，且a·b＝1，求tan2α＋π4的值.【解析】(1)因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝25，0，所以cosα－sinα＝15，t＝sin2α.由cosα－sinα＝15，得(cosα－sinα)2＝125，即1－2sinαcosα＝125，从而2sinαcosα＝2425.所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝4925.因为α∈0，π2，所以cosα＋sinα＝75，所以sinα＝（cosα＋sinα）－（cosα－sinα）2＝35，所以t＝sin2α＝925.(2)因为t＝1，且a·b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α.因为α∈0，π2，所以cosα≠0，从而tanα＝14，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝815，所以tan2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tanπ4＝815＋11－815＝237.题组训练1.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(A)的取值范围.【解析】m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12×cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.(1)∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12，cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C).∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝12，B＝π3.∴0＜A＜2π3.∴π6＜A2＋π6＜π2，12＜sinA2＋π6＜1.又∵f(x)＝m·n＝sinx2＋π6＋12，∴f(A)＝sinA2＋π6＋12，故1＜f(A)＜32.故f(A)的取值范围是1，32.2.(2018·南通、扬州等六市调研)在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinβ，cosβ)，c＝－12，32.(1)若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2)设α＝5π6，0＜β＜π，且a∥(b＋c)，求β的值.【解析】(1)因为a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinβ，cosβ)，c＝－12，32，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝－cosαsinβ＋sinαcosβ＝sin(α－β).因为|a＋b|＝|c|，所以|a＋b|2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(2)因为α＝5π6，所以a＝－32，12.依题意，b＋c＝－sinβ－12，cosβ＋32.因为a∥(b＋c)，所以－32cosβ＋32－12－sinβ－12＝0.化简得12sinβ－32cosβ＝12，所以sinβ－π3＝12.因为0＜β＜π，所以－π3＜β－π3＜2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.3.（2019·扬州中学月考）已知向量(2,1),(sin,cos()),2AmnBC角,,ABC为ABC的内角，其所对的边分别为,,.abc（1）当.mn取得最大值时，求角A的大小；（2）在（1）成立的条件下，当3a时，求22bc的取值范围.【解析】（1），令sin,2At，原式，当，即，时，取得最大值.（2）当时，，.由正弦定理得：（为的外接圆半径）于是.由，得，于是，，所以的范围是.4.（2018·南京三模）已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈(0，π2)．（1）若a－b＝(25，0)，求t的值；（2）若t＝1，且a•b＝1，求tan(2α＋π4)的值．【解析】（1）因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝(25，0)，所以cosα－sinα＝15，t＝sin2α．由cosα－sinα＝15得(cosα－sinα)2＝125，即1－2sinαcosα＝125，从而2sinαcosα＝2425．所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cosα＋sinα＝75．所以sinα＝(cosα＋sinα)－(cosα－sinα)2＝35，从而t＝sin2α＝925．（2）因为t＝1，且a•b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α．因为α∈(0，π2)，所以cosα≠0，从而tanα＝14．所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝815．从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tanπ4＝815＋11－815＝237．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(sinA2，cosA2)，n＝(cosA2，－cosA2)，且2m·n＋|m|＝22，AB→·AC→＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面积S.【解析】(1)因为2m·n＝2sinA2cosA2－2cos2A2＝sinA－(cosA＋1)＝2sin(A－π4)－1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝2sinA－π4＝22，即sin(A－π4)＝12.因为0＜A＜π，所以－π4＜A－π4＜3π4，所以A－π4＝π6，即A＝5π12.(2)cosA＝cos5π12＝cosπ6＋π4＝cosπ6cosπ4－sinπ6sinπ4＝6－24，因为AB→·AC→＝bccosA＝1，所以bc＝6＋2.又sinA＝sin5π12＝sinπ6＋π4＝6＋24，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.6.已知向量m＝(3sinx4，1)，n＝(cosx4，cos2x4)．(1)若m·n＝1，求cos(2π3－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(A)的取值范围．【解】m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12×cosx2＋12＝sin(x2＋π6)＋12.(1)∵m·n＝1，∴sin(x2＋π6)＝12，cos(x＋π3)＝1－2sin2(x2＋π6)＝12，∴cos(2π3－x)＝－cos(x＋π3)＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝12，B＝π3.∴0＜A＜2π3.∴π6＜A2＋π6＜π2，12＜sin(A2＋π6)＜1.又∵f(x)＝m·n＝sin(x2＋π6)＋12，∴f(A)＝sin(A2＋π6)＋12，故1＜f(A)＜32.故f(A)的取值范围是(1，32)．