4.1第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数

第四章三角函数与解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋54π(k∈Z)2．(2020届湖南高三月考)若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为()A.3π2B.3π4C.3π8D.3π163．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝35，则m等于()A．－3B．3C.163D．±34．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A．(－12，32)B．(－32，－12)C．(－12，－32)D．(－32，12)5．(2020届湖北荆州中学高三月考)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0，则实数a的取值范围是()A．(－2，3]B．(－2，3)C．[－2，3)D．[－2，3]6．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________(其中t∈[0，60])，d的最大值为________cm.7．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα0，若P(m，n)是角α的终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝________.8．已知角α的终边上一点P的坐标为(sin2π3，cos2π3)，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π69．若角α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z10．已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x的可能区间是()A．(π2，π)B．(－π4，3π4)C．(－π2，π2)D．(－3π4，π4)11．(2020届山东济宁一中高三月考)若α是第三象限角，则y＝|sinα2|sinα2＋|cosα2|cosα2的值为()A．0B．2C．－2D．2或－212．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米(结果保留整数，3≈1.73)．图1图213．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．14．如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3，点Q按顺时针方向每秒钟转π6，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长．第四章三角函数与解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数【基础过关】1．C解析：与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确．故选C.2．B解析：设扇形的圆心角为α，则由扇形的面积为3π8，半径为1，知3π8＝12αl2，解得α＝3π4.故选B.3．B解析：sinθ＝m16＋m2＝35，且m0，解得m＝3.故选B.4．A解析：由三角函数定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.故选A.5．A解析：∵cosα≤0，sinα0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴3a－9≤0，a＋20，解得－2a≤3.故a的取值范围为(－2,3]．故选A.6．10sinπt6010解析：根据题意，得∠AOB＝t60×2π＝πt30，故d＝2×5sin∠AOB2＝10sinπt60(t∈[0,60])．∵t∈[0,60]，∴πt60∈[0，π]，当t＝30时，d最大为10cm.7．2解析：由已知得tanα＝3，∴n＝3m.又m2＋n2＝10，∴m2＝1.又sinα0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2.【综合进阶】8．D解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin2π3＝32，故α＝2kπ－π6(k∈Z)，所以α的最小正值为11π6.故选D.9．C解析：因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.故选C.10．D解析：由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx＜0，即sinx＜cosx，所以－3π4＋2kπ＜x＜π4＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是－3π4，π4.故选D.11．A解析：因为α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2(k∈Z)，所以kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4(k∈Z)，所以α2是第二象限角或第四象限角．当α2是第二象限角时，y＝sinα2sinα2－cosα2cosα2＝0；当α2是第四象限角时，y＝－sinα2sinα2＋cosα2cosα2＝0.故选A.12．5解析：如题图2，由题意可得∠AOB＝2π3，OA＝3，所以在Rt△AOD中，∠AOD＝π3，∠DAO＝π6，OD＝12AO＝12×3＝32，可得CD＝3－32＝32.由AD＝AO·sinπ3＝3×32＝332，可得AB＝2AD＝2×332＝33.所以弧田面积S＝12(弦×矢＋矢2)＝12×33×32＋94＝943＋98≈5(平方米)．13．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝35－45＝－15；当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－35＋45＝15.(2)当a＞0时，sinθ＝35∈0，π2，cosθ＝－45∈－π2，0，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos35·sin－45＜0；当a＜0时，sinθ＝－35∈－π2，0，cosθ＝45∈0，π2，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos－35·sin45＞0.综上，当a＞0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a＜0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．【素养创新】14．解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒钟，则t·π3＋t·－π6＝2π.所以t＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒钟．设第一次相遇时，相遇点为C，则∠COx＝π3×4＝4π3，则点P走过的弧长为4π3×4＝16π3，点Q走过的弧长为2π3×4＝8π3.xC＝－cosπ3×4＝－2，yC＝－sinπ3×4＝－23.所以点C的坐标为(－2，－23)．