第六篇 二次函数综合应用

第六篇二次函数的综合应用知识梳理：1.二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线．2.二次函数的性质值函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x＝时，函数有最小值；当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大．＜0⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x＝时，函数有最大值；当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小．3.二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．简单地说：“左正右负上正下负”4.、、及的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0.开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（＜0）在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.简单地说：“左同右异”⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5.二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.典型例题题型一、、、及的符号与图象的关系1、已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤题型二、一元二次方程与二次函数的关系1．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，请你确定关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m=0的解。解因为抛物线的对称轴x1＝1，与x轴的一个交点坐标是（3，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标是（－1，0），所以关于x的一元二次方程－x2+2x+m＝0的解为x1＝－1，x2＝3。题型三、二次函数的实际应用例题1．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m。yxO13（1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？解：（1）根据题意可知，抛物线经过（0，920），顶点坐标为（4，4），则可设其解析式为y＝a（x－4）2＋4，解得a＝－91。则所求抛物线的解析式为y＝－91（x－4）2＋4。又篮圈的坐标是（7，3），代入解析式，y＝－91（7－4）2＋4＝3。所以能够投中。（2）当x＝1时，y＝3，此时3.1＞3，故乙队员能够拦截成功。例题2.某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元.为了促销，决定凡是购买件以上的，每多买一件，售价就降低0.10元（例如，某人买20件，于是每件降价0.10×(20－10)=1元，就可以按59元／件的价格购买），但是最低价为55元／件．同时，商店在出售中，还需支出税收等其他杂费1.6元/件．（1）求顾客一次至少买多少件，才能以最低价购买？（2）写出当一次出售x件时（x＞10），利润y（元）与出售量x（件）之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了47件，另一位顾客买了60件，结果发现卖了60件反而比卖了47件赚的钱少．为了使每次卖的越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价55元／件至少要提高到多少？为什么？解（1）设顾客一次至少购买x件，则60－0.1（x－10）=55，解得x=60．（2）当10＜x≤60时，y=［60－0.1（x－10）－50］x－1.6x=－0.1x2+9.4x；当x＞60时，y=（55－50－1.6）x=3.4x．（3）利润y=－0.1x2+9.4x=－0.1（x－47）2+220.9，因为当x=47时，利润y有最大值，而超过47时，利润y反而减少。10要想卖的越多赚的越多，即随的增大而增大，由二次函数性质可知，x≤47，所以当x=47时，最低售价应定为60－0.1（47－10）=56.3元．题型四、面积和周长问题最值例题1、已知二次函数y＝mx2－5mx＋1（m为常数，m＞0），设该函数图像与y轴交于点A，图像上一点B与点A关于该函数图像的对称轴对称．（1）求点A、B的坐标；（2）点O为坐标原点，点M为函数图像的对称轴上一动点，求当M运动到何处时△MAO的周长最小；（3）若该函数图像上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且△PAB的面积为10，求m的值．解：(1)当x＝0时，y＝1，则点A的坐标为（0，1）因为对称轴为x＝5m2m＝52，则点B(5，1)(2)设直线OB的表达式为y＝kx，把B(5，1)代入解得k＝15即y＝15x当x＝52时y＝12则M点坐标（52，12）（3）S△＝AB▪PH▪12，即10＝5×PH×12，解得PH＝4情况一：当AB＝AP＝5时，由勾股定理得AH＝3，所以P点坐标为（－3，5）或（3，－3）代入得：m＝16或23情况二：当AB＝BP＝5时，由勾股定理得AH＝3，所以P点坐标（8，5）或（2，－3）代入得：m＝16或23情况三：AB为底，则点P坐标为（52，－3）代入得m＝1625综上所述，m的值为16或23或1625．（说明：第（3）问情况一与情况二中，在关于对称轴对称的两个P点中，学生若各自用一个P点求出对应的m值且正确的，不扣分）例题2：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．总结:此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．题型五：二次函数与常见的几何图形相结合问题平行四边形例1：如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线过A、B两点。（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。解析：（1）易得A（0，2），B（4，0）122yx2yxbxc将x=0,y=2代入将x=4,y=0代入（2）由题意易得当（3）、由题意可知，D的可能位置有如图三种情形当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN得，从而D为（0，6）或D（0，-2）当D不在y轴上时，由图可知易得由两方程联立解得D为（4，4）故所求的D为（0，6），（0，-2）或（4，4）总结：求解析式的关键是确定图象上点的坐标，点坐标的确定关键要看题中的所给的条件适合哪种方法.例2、如图，直线33xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.22yxbxcc得2yxbxc得0=-16+4b+2,7,2,22cx27从而得b=y=-x2217(,2),(,2)22MttNttt22712(2)422MNttttt从而2t时,MN有最大值41224,6,2aaa解得12DDNDM为与的交点126,2DNxDx13的方程为y=-M的方程为y=22⑴求抛物线的关系式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）设抛物线的关系式为：y=ax2+bx+c.∵直线33xy交x轴于A点，交y轴于B点，∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.又∵抛物线经过A、B、C三点，∴09303abcabcc，解得：123abc，∴抛物线的关系式为：y=-x2+2x+3．（2）∵y=-x2+2x+3=2(1)4x，∴该抛物线的对称轴为x=1．设Q点坐标为（1，m），则224,1(3)AQmBQm，又10AB.当AB=AQ时，2410m，解得：6m，∴Q点坐标为（1，6）或（1，6）；当AB=BQ时，2101(3)m，解得：120,6mm，∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ时，2241(3)mm，解得：1m，∴Q点坐标为（1，1）．∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，6）、（1，6）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．OCBA