高中数学：第三章函数的应用总复习试题及答案

第三章函数的应用3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．函数f(x)＝lgx＋12的零点是()A.110B.10C.1010D．102．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1，2)上的零点()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()A．0B．1C．－1D．不能确定4．若函数f(x)＝x－1x，则g(x)＝f(4x)－x的零点是()A．2B.12C．4D.145．设函数y＝x3与y＝12x－2的图像的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)6．设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则下列说法中正确的是()A．f(x)在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．f(x)在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．f(x)在区间1e，1内有零点，在(1，e)内无零点D．f(x)在区间1e，1内无零点，在(1，e)内有零点7．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，3，x0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点个数为()A．1B．2C．3D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．方程3x＝x＋2解的个数是________．9．已知函数f(x)＝x＋log2x，则f(x)在12，2内的零点的个数是________．10．已知函数f(x)＝log2（x＋1）（x0），－x2－2x（x≤0），若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．11．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)讨论函数f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．13．(13分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0a1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点．答案第三章函数的应用3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点1．C[解析]因为lgx＋12＝0，所以lgx＝－12，所以x＝10－12＝1010.2．C[解析]若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)0，与已知矛盾．故恰有一个零点．3．A[解析]因为奇函数的图像关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.4．B[解析]因为f(x)＝x－1x，所以f(4x)＝4x－14x，则g(x)＝4x－14x－x＝0.令g(x)＝0，有4x－14x－x＝0，解得x＝12.5．B[解析]令g(x)＝x3－12x－2，易知g(x)为单调递增函数，故g(x)的图像与x轴只有一个交点，又g(0)＝－4，g(1)＝－1，g(2)＝7，故x0所在的区间为(1，2)．6．D[解析]因为f1e＝13×1e－ln1e＝13e＋10，f(1)＝13－ln1＝130，f(e)＝13·e－lne＝e3－10，所以f(x)在区间1e，1内无零点，在(1，e)内有零点．7．C[解析]由f(－4)＝f(0)可知，抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，所以－b2＝－2，解得b＝4.又f(－2)＝(－2)2＋4×(－2)＋c＝－2，解得c＝2，故f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，3，x0.又函数g(x)＝f(x)－x的零点即为方程f(x)－x＝0的根，而方程f(x)＝x⇔x2＋4x＋2＝x，x≤0或x0，3＝x，解得x＝－2或x＝－1或x＝3，即函数g(x)＝f(x)－x有3个零点．8．2[解析]分别作出函数y＝3x和y＝x＋2的图像(图略)，可知这两个函数图像有两个交点，所以方程3x＝x＋2有两个解．9．1[解析]易知g(x)＝x与h(x)＝log2x均为增函数，故函数f(x)为增函数，且f(2)·f120，故函数有且只有一个零点．10．(0，1)[解析]作出函数f(x)的图像与直线y＝m，如图所示，当这两个图像有3个交点时，有0m1.11．①②③[解析]设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－10，f(－1)＝10，f(0)＝－10，f(1)＝－10，f(2)＝70，则f(x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确．12．解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.当a＝12时，则由12x－1(x－2)＝0，解得x1，2＝2，则其零点为x＝2.当a≠0且a≠12时，则由(ax－1)(x－2)＝0，解得x＝1a或x＝2.综上所述，其零点为x＝1a或x＝2.13．解：(1)要使函数有意义，则有1－x0，x＋30，解得－3x1，所以函数的定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±3.因为－1±3∈(－3，1)，f(x)的零点是－1±3.3．1.2用二分法求方程的近似解一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)2．下列函数中，不能用二分法求零点的是()图L3­1­13．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过()A．εB.12εC．2εD.14ε4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根所在区间为()A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)C．(1.5，2)D．不能确定5．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.56．已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为()A．6B．7C．8D．97．已知函数f(x)在区间[1，3]上连续不断，且f(1)f(2)f(3)0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)在区间[1，2]或者[2，3]上有一个零点B．函数f(x)在区间[1，2]、[2，3]上各有一个零点C．函数f(x)在区间[1，3]上最多有2015个零点D．函数f(x)在区间[1，3]可能有2014个零点二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．9．已知方程mx2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一解，则实数m的取值范围是________．10．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．11．“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求17的近似值时，构造的函数是________，选定的初始区间是________(答案不唯一，写出一个即可)．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)求函数y＝2x＋3x－7的近似零点．(精确度为0.1)13．(13分)求函数y＝lnx与函数y＝3－x的图像的交点的横坐标．(精确度为0.1)答案3．1.2用二分法求方程的近似解1．C[解析]因为f(－1)＝12－30，f(0)＝1－30，f(1)＝2－30，f(2)＝4－3＝10，所以初始区间可选为(1，2)．2．B[解析]由图像知B中函数不存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)0成立．3．A[解析]最大误差即为区间长度ε.4．B[解析]根据二分法的定义，可知零点存在的区间是(1.25，1.5)，因此也是方程的根所在的区间．5．C[解析]易知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在R上是连续的，根据表中数据，可知f(1.4375)·f(1.40625)0，得到函数f(x)在区间(1.4375，1.40625)内有零点．所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4.6．B[解析]函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为1270.01.7．D[解析]零点存在性定理只能判断一定条件下有无零点，但不能判断零点的个数，从选项中可知，选项A，B，C都是肯定的答案，所以不正确，只有选项D正确．8．(2，2.5)[解析]令f(x)＝x3－2x－5，f(x)的图像在[2，3]上连续不断，因为f(2)＝－10，f(3)＝160，f(x0)＝f(2.5)＝5.6250，所以f(2)·f(2.5)0，故下一个有根区间是(2，2.5)．9．(2，＋∞)[解析]设f(x)＝mx2－x－1，因为方程mx2－x－1＝0在(0，1)内恰有一解，所以当m＝0时，方程－x－1＝0在(0，1)内无解，当m≠0时，由f(0)f(1)0，即－(m－1－1)0，解得m2.10．(0，0.5)f(0.25)[解析]由零点的存在性可知，x0∈(0，0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25，所以第二次应计算f(0.25)．11．f(x)＝x2－17[4，5][解析]由于17是方程x2－17＝0的一个根，故构造函数f(x)＝x2－17，根据函数零点存在性定理，可以选区间[4，5]．12．解：设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．经计算，f(1)＝－20，f(2)＝30，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1，2]内存在零点，即方程2x＋3x－7＝0在[1，2]内有解．取[1，2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.330，又f(1)＝－20，所以方程2x＋3x－7＝0在[1，1.5]内有解．如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：左端点右端点第1次12第2次11.5第3次1.251.5第4次1.3751.5第5次1.3751.4375由表可以看出，区间(1.375，1.4375)内的所有值，精确到0.1时，都是1.4，所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点．13．解：求函数y＝lnx与函数y＝3－x的图像交点的横坐标，即求方程lnx＝3－x的根．令f(x)＝lnx＋x－3.因为f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln30，所以可取初始区间为(2，3)，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(2，3)2.50.4163(2，2.5)2.250.0609(2，2.25)2.125－0.1212(2.125，2.25)2.1875－0.0297(2.1875，2.25)2.218750.0157由于区间[2.1875，2.21875]的长度|2.1875－2.21875|＝0.031250.1，所以方程lnx＋x－3＝0在(2