中考数学解题策略分类盘点

中考数学解题策略分类盘点姓名：__________指导：__________日期：__________1．定变分析题中哪些是常量哪些是变量？常量如何求？变量满足什么关系式？哪些是定点哪些是动点？定点如何确定？动点能确定运动轨迹吗？图形的形状确定吗？图形的大小确定吗？数量或图形之间的依存关系是什么？定变分析帮助我们判断哪些量是可求的，哪些量是不可确定的，从而明确解题的下一步思路．例3.以点O为直角顶点作两个直角三角形，分别为ΔAOB、ΔCOD，其中∠B＝30°，BO=2√3，E是OD上一点且OE=1，P是线段AB上一个动点，当ΔAOB绕点O旋转时，PN的最大值为，最小值为.结合问题观察推理，ΔCOD的形状大小与本题要求的问题有关系吗？显然并没有半毛钱关系，可以直接忽略不看，因为PE的长度只和其中的OE有关。再看ΔAOB已知两角一边，它的形状大小都确定，又P点是AB上动点，所以P点轨迹首先是线段AB。ΔAOB绕点O旋转时，AB绕点O旋转，AB是动线段，它的运动轨迹也是可以确定的，显然它旋转一周形成的轨迹是圆环，如下图：注意内圆半径是O到AB的距离，即AB边上的高，因ΔAOB大小确定，高OH亦可确定。现在我们把那个捉摸不定的动点P确定下来，P点可以看成是圆环内（包含边界）的任意一点，问题转化为E到圆环的最大最小距离，变成一个非常简单的求点到圆最值的基本问题：显然OP最大为：大圆半径+OE=2√3+1，最小为：小圆半径－OE=√3－1。本题还有更简洁的思考策略，ΔAOB相对于OE旋转了一周，若ΔAOB不动，把线段OE旋转一周，它们之间的关系是相同的。这里E点轨迹是以O为圆心1为半径的圆，转化为线段到圆的路径最值问题：从更宏观的角度看，这里E点的位置和P点的位置都是不确定的，但它们的轨迹是确定的，又可以看成圆到圆的路径最值问题：以上解法的本质是通过寻找轨迹把不确定的点限定在一定范围，并以确定的图形把它呈现出来，从而转化为已知的常用模型来解决，这体现了定与变的相对转化：变量可以由确定的关系式来限定，动点可以由确定的图形来限定，定值和定点都可以由特定的模型而求解。2．方程解析笛卡尔说过，一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题都可以转化为代数问题,而一切代数问题都可以转化为解方程！建立方程式求未知量的值是解决数学问题的通用策略，在坐标系中求未知点坐标也常常利用函数简析式建立方程求解．确定n个未知数的值需建立n个方程式；确定两个图像的公共点需求出两个图像的函数解析式．例4．如图，ΔABC的内切圆与各边相切于点D、E、F，∠A=60°，BD=m，CD=n，用m、n表示ΔABC的面积.首先根据切线长定理可知图中线段的相等关系：这样各边中仅有AE（AF）是未知量，但我们再由条件∠A=60°可以建立方程求得未知量与m、n的关系，最后便可以用m、n表示面积。用什么模型建立关系呢？这里有特殊角度，而且需要求面积，我们自然可以想到构造相关直角三角形：我们还可以用内切圆半径与三角形面积关系建立方程：3.设参列式题中存在较为复杂的数量关系时，我们可以设出合适的参数，再用此含参数的代数式表示相关数量，以方便寻找新的关系和结论。例5.正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上一点，CE=3，DF=2，∠FEC=2∠BAE，求正方形边长.题中条件“∠FEC=2∠BAE”直接看不出下一步结论，我们先设∠FEC=2∠BAE=2α，则∠BEA=90°－α，再得∠AEF=180°－(90°－α)－2α=90°－α，可得结论∠AEF=∠BEA，这个结论一旦出现，下面的思路就容易了，构造翻折型全等，容易在ΔCEF中根据勾股定理求得正方形边长。例6.如图，正方形ABCD边长为2，E是正方形内一点，CE=BC，EH⊥BC于H，点P是RtΔCEH内心，则DP的最小值为.本题中P是动点，我们通常先考虑P点的运动轨迹，用“动中寻定，以静动”的方法，动点的运动轨迹是由定值（定点、定长、定线、定角等）确定的，设∠PEC=α，∠PCE=β，则∠PHE+∠HCE=2α+2β=90°，α+β=45°，所以有定角∠CPE=135°，但ΔCPE是运动的，这时条件“CE=BC”就派上用场了，可得ΔCPE与ΔCPB全等，∠CPB=∠CPE=135°，产生了“定边对定角”模型，可知P点运动轨迹是BC为弦的弧，顺利转化为基本问题：点到圆的最短路径。本题中利用参数α、β的关系求得定角∠CPB=∠CPE=135°是关键的一步，可见设参列式是寻找数量关系的一般策略。4.完形构造模型化是数学中重要的思想方法，数学问题都是通过构造数学模型解决的，这里可分为三个层次：（1）组形：当题中已经具备完整的模型，识别相关元素并组合构造成特定数学模型。例7.已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，BD⊥AB，M是射线BD上一点，CN⊥CM交AB于点N，求MN的最大值。根据条件识别图中具备ΔACN与ΔBCM相似，从而构成“一转成双”模型，寻得另一对相似ΔMCN与ΔBCA。由于线段MN两个端点都是动点不易确定其最小值，可转化为求CM的最小值，即为定点到定线模型，当CM⊥BD时最小，此时CM=3，MN=6。（2）补形：当题中的模型残缺不完整时，添加补充合适的元素构造完整的数学模型。例8.正方形ABCD边长为4，E、F分别是AD、BC上的点，且AE=CF，作AP⊥EF于P，求DP的最小值。看完本题，我们应会感觉到已知图形太单薄，一定是需要补充点什么，由AE=CF且AE∥CF我们想到“X形”全等模型，如下图可得AO是定线。再由∠APO=90°形成“定线对定角”模型，知P点轨迹是圆弧，问题即为“定点到定圆”的最短路径问题，如下图自然易求DP的最小值。（3）变形：当题中的条件孤立隐蔽无联系时，把题中关键元素进行运动变换从而构造出新的数学模型。例9.如图，F是ΔABC的中点，以AB、AC为斜边作RtΔABD和ΔACE，∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，求证：DF=EF.题中DF、EF所在的图形没有现成的模型，无法产生联系，因而需要用变换的方式进行构造。题中有丰富的相等关系，可以猜测判断应该构造的模型是全等三角形。我们从中点条件看，常用的变换方式有：以线段端点为中心1：2缩放或以中点为中心旋转180度，分别可构造“A”形相似或“X”形全等。①分别以点B、C为中心把ΔBDF和ΔCEF以1：2放大，构造“A形”相似（即倍长BD、CE）：同时出现“手拉手”模型：②分别以点B、C为中心把ΔABC以2：1缩小，构造“A形”相似（即取AB、AC中点）：同时出现“斜边中线”和“SAS全等”：③以点F为中心把ΔBDF旋转180度，构造“X形”全等（即倍长DF）：同时出现“一转成双”型相似和“斜边中线”：根据此图还可推得∠EDF=∠BAD=∠CAE，∠DFE=2∠ABD=2∠ACE。下图是以点F为中心把ΔCEF旋转180度，构造“X形”全等（即倍长EF）：④以点F为中心分别把ΔADF、ΔAEF以1：2放大，构造“A形”相似（即倍长DF），同时出现“X形”全等和“SAS”全等：完形构造是解决数学题的通用策略，思考问题时要把题目条件与数学知识与模型相联系，根据需要补充辅助元素构造完整的数学模型，问题便可得以解决。//三、解题的常用方法//题海无边，题型却有限，题目万变，方法却不变，掌握一类问题的常用方法便可以大大提高解题效率。1.归纳应用归纳应用：从简单情形入手，归纳一般规律以解决复杂情况，多用于解决数、式、图的排列与计算问题。例10.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，第100个三角形数为，2016是第个三角形数。相邻数据的差是等差数列，符合二阶等差数列特征：（1）1=1；（2）3=1+2；（3）6=1+2+3；（4）10=1+2+3+4；……（n）1+2+3+……+n=n(n+1)/2，利用此关系式得第100个数为5050；2016是第63个数。例11.求下列式子的结果：原式数据太多，而且数的排列具有规律性，我们先从简单情形进行计算归纳规律：从而得出它的结果是三角形数，第n个式子的结果为n(n+1)/2，n=100时得结果为5050.2.轨迹定位轨迹定位：问题中出现未知点或动点时，先确定该点的所在轨迹，再转化为与轨迹图形相关的问题加以解决。例12.四边形ABCD中，BC=6，AB=AD，∠BAD=60°，∠BDC=45°，求AC的最大值。图中有“BC=6，∠BDC=45°”，符合“定线对定角”模型，可判断D点在以BC为弦所含圆周角为45°的圆弧上：D点是主动点，A点是从动点，A点由点D绕点B逆时针旋转60度所得，由“主从联动”模型，可得点A的轨迹为弧BDC绕点B逆时针旋转60度所得的等弧，圆心同样为点O绕点B逆时针旋转60度而得的点E：这样CA的最大值转化为“定点到定圆”的最大路径问题，即为CE+AE的值。换一种角度，把ΔABC绕点B顺时针旋转60度至ΔDBP，得DP=AC，同样可转化为定点P到定圆O的最大路径问题。或直接在ΔDOP中三边满足DP≤DO+OP，即可求得DP的最大值。例13.已知抛物线y=-0.5x2+3x+8与x轴分别交于点A、B，D（3，0），E（0，5），抛物线上有一点P（异于B点）满足ΔPDE的面积与ΔBDE相等，求P点坐标。由ΔPDE的面积与ΔBDE相等可知P点到DE的距离与B点到DE的距离相等，可确定P点所在直线是两条到DE的距离为定长的平行线，利用直线与抛物线相交可求得P点坐标。如图，由OM：OD=OB：OE可得OM=10/3，DN=DM=25/3，可求两条直线解析式分别为y=-5/3x-10/3、y=-5/3x+40/3，再由解析式即可得P点坐标3.化折为直化折为直：定点间的几条折线段在一条直线上时，其和最小。另有：点到直线的所有连线中垂线段最小。这里的“直”理解为“直线”或“垂直”。注意：化折为直的前提是“几条连续折线在两个定点之间，或在定点与定线之间”，若不满足需先进行变换转化。例14.（1）如图①，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是边上任意一点，则PC的最小值为．（2）如图②，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值.（3）如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把ΔBEF沿EF翻折，点B的对应点为P点，连接AP、CP，四边形APCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度；若不存在，请说明理由．问题（1）直接求点C到AB的距离。问题（2）中折线CM、MN居于轨迹线BD同侧，无法化直，所以要先把CM或MN翻折变换到另一侧，以便化直，这样转化为点到线的最短路径问题。如下图，CM+MN=C′M+MN，C′N′即为其最小值，在ΔCC′N′中利用三角函数可求得为24/5×4/5=96/25。同样可以把MN沿BD翻折至MN′，N′的轨迹即是把BC翻折后的BC′，转化为求C点到直线BC′的最短路径，即CH的长。问题（3）中可先确定P点轨迹为以E为圆心以BE为半径的圆弧，把四边形APCD面积最小转化为ΔAPC面积最小，再转化为高PH最小，即求圆E到直线AC的最短路径，过E作AC的垂线，所得PH即为最小值，求得四边形APCD的面积最小值为15/2。4.改斜归正改斜归正：由于坐标的本质是水平竖直方向的距离，所以坐标系中往往把斜向线段的关系转化为正向（水平竖直方向）线段的关系解决。例15.抛物线y=0.5x2+1.5x-2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P为抛物线在第三象限的一个动点，作PH⊥BC于H.（1）求PH的最大值；（2）若∠HPC=2∠ABC，求点P的横坐标.问题（1）中PH的长不易表示，可以作PN⊥x轴交BC于M，设P（x，0.5x2-1.5x-2），M（x，-0.5x-2），则PM=-0.5x2+x，PH=2√5/5PM，转化为求PM的最大值。问题（2）可先确定∠HPC=2∠ABC的大小，再作K形相似把