【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭002-函数、导数及其应用

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成．[试一试]1．(2013·江西高考)函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：选B根据题意得1－x0，x≥0，解得0≤x1，即所求定义域为[0,1)．2．若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0解析：选Bf(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．[练一练]1．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7答案：D2．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________.答案：x2－4x＋3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝x－12B．y＝x－1与y＝x－1x－1C．y＝4lgx与y＝2lgx2D．y＝lgx－2与y＝lgx100答案：D2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y＝xx；f2：y＝1.(2)f1：y＝1，x≤1，2，1x2，3，x≥2；f2：xx≤11x2x≥2y123(3)f1：y＝2x；f2：如图所示．解：①不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.②同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.[类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．考点二函数的定义域问题角度一求给定函数解析式的定义域1．(1)(2013·山东高考)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)(2013·安徽高考)函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．解析：(1)由题意，自变量x应满足1－2x≥0，x＋30，解得x≤0，x－3，∴－3x≤0.(2)要使函数有意义，需1＋1x0，1－x2≥0，即x＋1x0，x2≤1，即x－1或x0，－1≤x≤1，解得0x≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(1)A(2)(0,1]角度二已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域2．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．解：∵函数f(x)的定义域是[－1,1]，∴－1≤log2x≤1，∴12≤x≤2.故f(log2x)的定义域为12，2.角度三已知定义域确定参数问题3．(2014·合肥模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：1求给定函数解析式的定义域；2已知fx的定义域，求fgx的定义域；3已知定义域确定参数问题.答案：[－1,0][类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．考点三求函数的解析式[典例](1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．[解](1)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(2)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1(x1)．(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x(x∈R)．[类题通法]求函数解析式常用的方法(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；(3)配凑法；(4)解方程组法．[针对训练]1．已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．解：法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.考点四分段函数[典例](1)已知函数f(x)＝lgx，x0，x＋3，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为()A．－3B．－1或3C．1D．－3或1(2)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝2x3，x0，－tanx，0≤xπ2，则ffπ4＝________.[解析](1)f(1)＝lg1＝0，所以f(a)＝0.当a0，则lga＝0，a＝1；当a≤0.则a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.故选D.(2)∵π4∈0，π2，∴fπ4＝－tanπ4＝－1，∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.[答案](1)D(2)－2[类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[针对训练]设函数f(x)＝2－x，x∈－∞，1，x2，x∈[1，＋∞，若f(x)4，则x的取值范围是______．解析：当x1时，由f(x)4，得2－x4，即x－2；当x≥1时，由f(x)4得x24，所以x2或x－2，由于x≥1，所以x2.综上可得x－2或x2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)[课堂练通考点]1．下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx解析：选D函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}．2．(2014·广州调研)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，则ff14的值是()A．9B.19C．－9D．－19解析：选Bf14＝log214＝log22－2＝－2，ff14＝f(－2)＝3－2＝19.3．(2014·安徽“江南十校”联考)函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定义域为________．解析：由题意知，x＋1≠0，－x0，⇒x≠－1x0⇒x∈(－∞，－1)∪(－1,0)．答案：(－∞，－1)∪(－1,0)4．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.解析：由f(1)＝f(2)＝0，得12＋p＋q＝0，22＋2p＋q＝0，所以p＝－3，q＝2.故f(x)＝x2－3x＋2.所以f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.答案：65．(2013·上海徐汇一模)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝x－1，x0，2－x，x0.(1)求f(g(2))与g(f(2))；(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.所以f(g(x))＝x2－2x，x0，x2－4x＋3，x0.同理可得g(f(x))＝x2－2，x－1或x1，3－x2，－1x1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是()A．f：x→y＝18xB．f：x→y＝14xC．f：x→