专题49 直线与平面、平面与平面平行(解析版)

专题49直线与平面、平面与平面平行专题知识梳理1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2．平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.考点探究考向1直线与平面平行的判定【例】在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.【解析】(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝12AD，E为AD的中点，∴BC=AE，BC∥AE∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.题组训练1.如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，E，F分别是A1B，AC1的中点.求证：EF∥平面ABC.【解析】如图，连结A1C，因为三棱柱A1B1C1ABC中，四边形AA1C1C是平行四边形，所以点F在A1C上，且为A1C的中点.在△A1BC中，因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC.因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.2.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【解析】如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.3.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．【解析】（1）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)设EF＝x(0x4)，∵EF∥AB，FG∥CD，∴CFCB＝x4，则FG6＝BFBC＝BC－CFBC＝1－x4.∴FG＝6－32x.∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2x＋6－32x＝12－x.又∵0x4，∴8l12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．【解析】①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：A1N∥平面AMP.【解析】取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C.由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥CC1且DM＝CC1，故DM∥AA1且DM＝AA1.则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM.又A1D⊄平面APM，AM⊂平面APM，所以A1D∥平面APM.由于D，N分别为C1B1，CC1的中点，所以DN∥B1C.又P，M分别为BB1，CB的中点，所以MP∥B1C.则DN∥MP.又DN⊄平面APM，MP⊂平面APM，所以DN∥平面APM.由于A1D∩DN＝D，所以平面A1DN∥平面APM.由于A1N⊂平面A1DN，所以A1N∥平面APM.考向2直线与平面平行的性质【例】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一点.若点N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长.【解析】如图，取AB1的中点P，连结NP，PM.因为点N是AB的中点，所以NP∥BB1.因为CM∥BB1，所以NP∥CM，所以NP与CM共面.因为CN∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP.所以四边形CNPM为平行四边形，所以CM＝NP＝12CC1＝2.题组训练1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【解析】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.2.如图，在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱VC，VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则VBFB＝________.【解析】连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M，连接AM，MF，由VC＝3EC⇒VM＝ME＝EC.又AO＝CO⇒AM∥EO⇒AM∥平面BDE.又由题意知AF∥平面BDE，∴平面AMF∥平面BDE⇒MF∥平面BDE⇒MF∥BE⇒VF＝FB⇒VBFB＝2.考向3平面与平面平行的判定与性质【例】在三棱柱ABC－A1B1C1中，(1)若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.（2）若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求ADDC的值．【解析】(1)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G=EB∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA，∴平面EFA1∥平面BCHG.（2）连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则A1D1D1C1＝A1OOB＝1.又由题设A1D1D1C1＝DCAD，∴DCAD＝1，即ADDC＝1.题组训练1.如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【解析】(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.2.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.【解析】∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则PCPA＝CDAB，∴AB＝PA×CDPC＝5×12＝52.3.如图，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．【解析】(1)当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.∴A1D1D1C1＝A1OOB，A1D1D1C1＝DCAD.又A1OOB＝1，∴DCAD＝1，即ADDC＝1.