5.3第三节平面向量的数量积与平面向量的综合应用

第三节平面向量的数量积与平面向量的综合应用1．已知向量a＝(m－1，1)，b＝(m，－2)，则“m＝2”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为()A．1B．－1C．2D．－23．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝()A.12B．1C.2D．24．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|2a－b|等于()A．22B.17C.15D．255．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.π3B.2π3C.5π6D.π66．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．7．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若AE→＝2EC→，则DE→·AC→＝________．9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P满足CP＝2，则PA→·PB→的最大值为()A．9B．16C．18D．2510．(2020届河北唐山一中高三月考)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP→＝xOB→＋yOC→，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A.1033B.1463C．43D．6211．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.3－1B.3＋1C．2D．2－312．(2020届江西抚州临川区第一中学高三月考)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()A．1B.2C.3D．213．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a＋b|＝2，则a在b方向上的投影为________．14．(2020届辽宁本溪高级中学高三月考)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA→·BC→＝BA→2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值时，AP→·BC→＝________．15．在△ABC中，A＝π3，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，且满足|OA→|＝|OB→|＝|OC→|.设AO→＝mAB→＋nAC→，则m＝________，n＝________．16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．17．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．第三节平面向量的数量积与平面向量的综合应用【基础过关】1．A解析：当m＝2时，a＝(1,1)，b＝(2，－2)，所以a·b＝(1,1)·(2，－2)＝2－2＝0，所以a⊥b，充分性成立；当a⊥b时，a·b＝(m－1,1)·(m，－2)＝m(m－1)－2＝0，解得m＝2或m＝－1，必要性不成立．所以“m＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A.2．B解析：向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝(k－4，k＋6)．若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故选B.3．A解析：由题意得a·b＝|a|×1×12＝|a|2.又|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，即4|a|2－2|a|＝0.又|a|≠0，解得|a|＝12.故选A.4．A解析：根据题意，得|a－b|＝3＋2＝5，则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，得|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，所以|2a－b|＝22.故选A.5．D解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0.故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝3.设向量a＋b与a的夹角为θ，则cosθ＝a·a＋b|a|·|a＋b|＝a2＋a·b|a|·|a＋b|＝|a||a＋b|＝32.又0≤θ≤π，所以θ＝π6.故选D.6．3解析：由已知，得BA→·BC→＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.7．23解析：|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.8.13解析：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)，所以AC→＝(－1,2)．因为D为BC的中点，所以D(0,1)．因为AE→＝2EC→，所以E13，43，所以DE→＝13，13，所以DE→·AC→＝13，13·(－1,2)＝－13＋23＝13.【综合进阶】9．B解析：∵∠C＝90°，AB＝6，∴CA→·CB→＝0，∴|CA→＋CB→|＝|CA→－CB→|＝|BA→|＝6，∴PA→·PB→＝(PC→＋CA→)·(PC→＋CB→)＝PC→2＋PC→·(CA→＋CB→)＋CA→·CB→＝PC→·(CA→＋CB→)＋4，∴当PC→与CA→＋CB→方向相同时，PC→·(CA→＋CB→)取得最大值2×6＝12，∴PA→·PB→的最大值为16.故选B.10．B解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则12bcsinA＝12(a＋b＋c)r，解得r＝263，所以S△BOC＝12ar＝12×7×263＝763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝1463.故选B.11．A解析：设O为坐标原点，a＝OA→，b＝OB→＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x(x0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA→|－|CB→|＝3－1.故选A.12．B解析：∵点C在以O为圆心的圆弧AB上，∴|OC→|2＝|xOA→＋yOB→|2＝x2＋y2＋2xyOA→·OB→＝x2＋y2，∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值为2.故选B.13．－33解析：向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a＋b|＝2，∴|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋3＋2a·b＝2，解得a·b＝－1.∴a在b方向上的投影为a·b|b|＝－13＝－33.14．－9解析：∵BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cos∠ABC＝|BA→|2，∴|BC→|·cos∠ABC＝|BA→|＝6，∴CA→⊥AB→，即∠BAC＝π2，以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，则PA→2＋PB→2＋PC→2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]，∴当x＝2，y＝1时，PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值，此时P点坐标为(2,1)，∴AP→＝(2,1)，∴AP→·BC→＝(2,1)·(－6,3)＝－9.15.71519解析：由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，得点O是△ABC的外心，则AO→·AB→＝|AB→|22＝50，AO→·AC→＝|AC→|22＝18.又因为AB→·AC→＝10×6×12＝30，将AO→＝mAB→＋nAC→代入AO→·AB→＝50，AO→·AC→＝18中，得100m＋30n＝50，30m＋36n＝18，所以m＝715，n＝19.16．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.17．解：(1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，解得t＝－115.