平面向量的数量积

一．课题：平面向量的数量积二．教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．三．教学重点：平面向量数量积及其应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．平面向量数量积的概念；2．平面向量数量积的性质：22||aa、cos,||||ababab；3．向量垂直的充要条件：0abab．（二）主要方法：1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围；2．垂直的充要条件的应用；3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决．（三）基础训练：1.下列命题中是正确的有①设向量a与b不共线，若()()0abab，则||||ab；②||||||abab；③abac，则bc；④若()abc，则abac2．已知cba,,为非零的平面向量.甲：则乙,:,cbcaba（）()A甲是乙的充分条件但不是必要条件()B甲是乙的必要条件但不是充分条件()C甲是乙的充要条件()D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．已知向量(3,4),(2,1)ab，如果向量axb与b垂直，则x的值为（）()A323()B233()C2()D254．平面向量,ab中，已知(4,3),||1ab，且5ab，则向量b_________.5．已知|a|=|b|=2，a与b的夹角为600，则a+b在a上的投影为。6．设向量,ab满足||||1,|32|3abab，则|3|ab。7．已知向量,ab的方向相同，且||3,||7ab，则|2|ab_______。8．已知向量a和b的夹角是120°，且2||a，5||b，则aba)2(=。（四）例题分析：例1．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：)(ba⊥c；（2）若1||cbak)(Rk，求k的取值范围.解：（1）∵1||||||cba，且a、b、c之间的夹角均为120°，∴0120cos||||120cos||||)(00cbcacbcacba∴0)(cba（2）∵1||cbak，即1||2cbak也就是12222222cbcakbakcbak∵21cacbba，∴022kk所以0k或2k．例2．已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）（1）若|c|52，且ac//，求c的坐标；（2）若|b|=,25且ba2与ba2垂直，求a与b的夹角.解：（1）设),(yxc，由ac//和52||c可得：2002122yxxy∴42yx或42yx∴)4,2(c，或)4,2(c（2）),2()2(baba0)2()2(baba即222320,aabb222||32||0aabb∴0452352ba，所以25ba∴,1||||cosbaba∵],0[∴.例3．设两个向量1e、2e，满足2||1e，1||2e，1e、2e的夹角为60°，若向量2172eet与向量21ete的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解：421e，122e，121ee∴71527)72(2)()72(222212212121tteteeteteteeet∴071522tt217t设)(722121eteee)0(14,21472722tttt∴t214时，2172eet与21ete的夹角为，∴t的取值范围是)21,214()214,7(。例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值.解法一：,ABAC0.ABAC,,,APAQBPAPABCQAQAC()()BPCQAPABAQACAPAQAPACABAQABAC2aAPACABAP2()aAPABAC212aPQBC212aPQBC22cos.aa故当cos1，即0（PQ与BC方向相同）时，BCCQ最大，其最大值为0。解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设||||ABcACb，则(0,0),(,0),(0,),ABcCb且||2,||.PQaBCa(,),(,),BPxcyCQxyb设点P的坐标为(,)xy，则(,)Qxy，(,),(2,2).BCcbPQxy()()()BPCQxcxyyb22().xycxby2cos.||||PQBCcxbyaPQBC2cos.cxbya22cos.BPCQaa故当cos1，即0（PQ与BC方向相同）时，BCCQ最大，其最大值为0。五．课后作业：1．已知向量)sin,(cosa,向量)1,3(b则|2|ba的最大值，最小值分别是（）()A0,24()B24,4()C16，0()D4，02．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1,3(A，)3,1(B，若点C满足OBOAOC，其中R,，且1，则点C的轨迹方程为：（）()A01123yx()B5)2()1(22yx()C02yx()D052yx3．已知向量)75sin,75(cosa，)15sin,15(cosb，那么||ba的值是（）()A21()B22()C23()D14．在ABC中，0ACAB，ABC的面积是415，若3||AB，5||AC，则BAC()()A6()B32()C43()D655．已知O为原点，点,AB的坐标分别为)0,(aA，),0(aB，其中常数0a，点P在线段AB上，且有ABtAP)10(t，则OPOA的最大值为（）()Aa()Ba2()Ca3()D2a6．设12,FF是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上，且120PFPF，则||||21PFPF的值等于（）()A2()B22()C4()D87.设,,abc是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①()()0abccab；②||||||abab③()()bcacab不与c垂直④22(32)(32)9||4||ababab中，是真命题的有()（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④8．设,,,OABC为平面上四个点，aOA，bOB，cOC，且0cba，cbba=ac1，则||||||cba＝___________________。9．若对n个向量naaa,,21存在n个不全为零的实数nkkk,,,21，使得02211nnakakak成立，则称向量naaa,,21为“线性相关”．依此规定，能说明1(1,0)a，2(1,1)a，3(2,2)a“线性相关”的实数321,,kkk依次可以取；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．10．向量,ab都是非零向量，且(3)(75),(4)(72)abababab，求向量a与b的夹角.11．已知向量33(cos,sin)22axx，(cos,sin)22xxb。（1）当]2,0[x，求,||abab；（2）若||2)(bambaxf≥23对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。12．设)sin,cos1(a,)sin,cos1(b,),0(,)2,(，a与x轴正半轴的夹角为1,b与x轴正半轴的夹角为2，且321,求||ba．