直线、平面平行的判定及其性质

第四节直线、平面平行的判定及其性质[备考方向要明了]考什么怎么考1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.1.直线与平面平行的判定与性质及平面与平面平行的判定与性质是高考的热点之一，考查线线、线面以及面面平行的转化，考查学生的空间想象能力及逻辑推理能力．2.从考查题型看，既有客观题又有主观题．客观题一般围绕线面平行的判定和性质定理的辨析设计试题；主观题主要是围绕线、面平行的判定和性质定理的应用设计试题，一般设计为解答题中的一问，如2012年浙江T20(1)，江苏T16(2)，福建T18(2)等.[归纳·知识整合]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b[探究]1.如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行吗？提示：不一定．只有当此直线在平面外时才有线面平行．2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？提示：不可以，对于任意一条直线而言，存在异面的情况．2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b[探究]3.如果一个平面有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答案：平行．[自测·牛刀小试]1．下列命题中，正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α解析：选D由直线与平面平行的判定定理知，三个条件缺一不可，只有选项D正确．2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析：选D当直线l∥α或l⊂α时，满足条件．3．(教材习题改编)已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②4．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．解析：∵AMMB＝ANND，∴MN∥BD，又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BDC.答案：平行5．(教材习题改编)过三棱柱ABC－A1B1C1的棱A1C1，B1C1，BC，AC的中点E、F、G、H的平面与平面________平行．解析：如图所示，∵E、F、G、H分别为A1C1、B1C1、BC、AC的中点，∴EF∥A1B1，FG∥B1B，且EF∩FG＝F，A1B1∩B1B＝B1∴平面EFGH∥平面ABB1A1.答案：ABB1A1线面平行的判定及性质[例1]正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.[自主解答]法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE＝QBBD，QNDC＝BQBD，∴PMAB＝QNDC，∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二：如图所示，作PH∥EB交AB于H，连接HQ，则AHHB＝APPE，∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴AHHB＝APPE＝DQBQ，∴HQ∥AD，即HQ∥BC.又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B，∴平面PHQ∥平面BCE，而PQ⊂平面PHQ，∴PQ∥平面BCE.本例若将条件“AP＝DQ”改为“APPE＝DQQB”，则直线PQ与平面BCE还平行吗？解：平行．证明如下：如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK.∵AD∥BK，∴DQBQ＝AQQK.又APPE＝DQQB，∴APPE＝AQQK，∴PQ∥EK.又PQ⃘平面BEC，EK⊂平面BEC，∴PQ∥平面BEC.———————————————————证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又E为AD的中点，AB＝2，∴EF＝12AC＝12×22＋22＝2.答案：22．(2013·无锡模拟)如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.证明：如图，取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM＝12CD.又∵AE∥CD且AE＝12CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.面面平行的判定与性质[例2]如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.[自主解答]∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF.又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.又AD1⃘平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.———————————————————判定面面平行的方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴MN∥PQ.∵M、N分别是A1B1，B1C1的中点，AP＝a3，∴CQ＝a3，从而DP＝DQ＝2a3，∴PQ＝223a.答案：223a4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.证明：如图所示，连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理可证，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内，∴平面MNP∥平面A1C1B.线面平行中的探索性问题[例3](2013·徐州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[自主解答]存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.———————————————————破解探索性问题的方法解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．5.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF，又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又CC1、CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.1个关系——三种平行间的转化关系线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．2种性质——线面、面面平行的性质(1)线面平行的性质：①直线与平面平行，则该直线与平面无公共点．②由线面平行可得线线平行．(2)面面平行的性质：①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面．②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．3种方法——判定线面平行的方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的三种方法：(1)利用定义：判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进行)；(2)利用线面平行的判定定理；(3)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.数学思想——转化与化归思想在证明平行关系中的应用线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行，欲证线面平行，可转化为证明线线平行．[典例](2013·盐城模拟)如图，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．[解](1)结论：BC∥l，因为AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，所以BC∥l.(2)结论：MN∥平面PAD.设Q为CD的中点，如右图所示，连接NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD.又因为NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.又因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.[题后悟道]1．本题(1)将线面平行的判定定理和性质定理交替使用，实现了线线平行的证明；本题(2)巧妙地将线面平行的证明转化为面面平行，进而由面面平行的性质，得到结论的证明．2．利用相关的平行判定定理和性质定理实现线线、线面、面面平行关系的转化，也要注意平面几何中一些平行的判断和性质的灵活应用，如中位线、平行线分线段成比