专题5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(原卷版)

第五章平面向量专题1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（文科）【三年高考】1.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(1,),若a||b,则.2.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为45°.若OCmOAnOB(,)mnR,则mn▲.[来源:学&科&网]3.【2017江苏，16】已知向量(cos,sin),(3,3),[0,π].xxxab（1）若a∥b,求x的值；学*科网（2）记()fxab,求()fx的最大值和最小值以及对应的x的值.4.【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.5．【2016高考天津文数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则BCAF的值为（）（A）85（B）81（C）41（D）8116．【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC，则向量BC()（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)7.【2015高考北京，文6】设a，b是非零向量，“abab”是“//ab”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8.【2015高考安徽，文15】ABC是边长为2的等边三角形，已知向量ba、满足aAB2，baAC2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b为单位向量；③ba；④BCb//；⑤BCba)4(。9．【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,2,1,60,ABBCABC点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BEBCDFDC则AEAF的值为．10.【2015高考上海，文13】已知平面向量a、b、c满足ba，且}3,2,1{|}||,||,{|cba，则||cba的最大值是.【2017考试大纲】1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.【三年高考命题回顾】[来源:学。科。网Z。X。X。K]纵观前三年各地高考试题,对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，向量作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的运算律等内容．学*科网【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,高考对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点仍为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，向量作为工具与其他知识交会处命题会增加，应予以关注，单独考查形式为选择题或填空题，分值为5分，难度为多为容易题或中档题.故2018高考复习，要熟记平面向量的有关概念，熟练掌握平面向量共线的充要条件的两种形式，并会应用之解决三点共线问题，掌握平面向量加法与减法的三角形法则与平行四边形法则，会结合图形运用通过构造三角形、平行四边形、多边形运用平面向量实数与向量积、平面向量基本定理用待定系数法将未知向量用已知向量表示出来.【2018年高考考点定位】高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题.【考点1】向量的概念【备考知识梳理】1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.2.零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：0a=0，0+a=a.3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与a方向相同的单位向量为a|a|.4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b.学*科网5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a，有-(-a)=a.【规律方法技巧】1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：（1）零向量的方向及与其他向量的关系.(2)单位向量的长度与方向.2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小.【考点针对训练】1.设向量(,1)xa，(4,)xb,若,ab方向相反,则实数x的值是（）A．0B．2C．2D．22.已知向量3,4a=，若5a，则实数的值为（）A．15B．1C．15D．1【考点2】向量的线性运算【备考知识梳理】1.向量加法:①平行四边形法则：平移a，b使其由公共的起点，以a、b为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的对角线对应的向量就是a与b的和向量.②三角形法则：要注意“首尾相连”③两个向量的和向量仍为向量④当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合.2．向量减法应注意：①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”.3.向量数乘运算①实数与a的积仍是向量，|a|=|||a|，当＞0时，a与a方向相同，当＜0时，a与a方向相反，当=0时，a=0.②向量数乘的特殊情况：a=0充要条件是a=0或=0.③实数与向量可以求积，但可以求和、差.④熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积的运算律.4.平面向量基本定理[来源:Zxxk.Com]①平面向量基本定理：若a、b是平面内不共线的向量，向量c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对,xy，使xyc=a+b.学*科网②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础.5.平面向量的基本运算①若a=（1x，1y），b=（2x，2y），则a±b=（1x±2x，1y±2y），a=（1x，1y），②若A（1x，1y），B（2x，2y），则AB=（2x-1x，2y-1y）.【规律方法技巧】1．在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.2．当M是线段AB的中点时，则OM=1()2OAOB是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.3．当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.【考点针对训练】1.【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三四模】设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则A.1162BOABACB.1162BOABACC.5166BOABACD.5166BOABAC2.【四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断】在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，22ABBCAD，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在DG上运动（如图）.若APAEBF，其中，R，则6的取值范围是（）A.1,2B.2,22C.2,22D.1,22【考点3】平面向量共线问题【备考知识梳理】1.共线向量的概念:若两个非零向量a、b的方向相同或相反，则称a与b共线，也叫a与b平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.学科*网向量共线的充要条件:①共线向量定理：a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b.[来源:Zxxk.Com]②若a=（1x，1y），b=（2x，2y），则a∥b1x2y-2x1y=0.【规律方法技巧】1.向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.2.对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3.若A、B、C三点共线且OAOBOC，则=1.【考点针对训练】1.【福建泉州新世纪中学2017年普通高中毕业班质量检查】已知向量,ab满足3,1a，1b，且ab，则实数__________．2.【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试】已知向量1,2,2,aby，且//ab，则32ab_______.【应试技巧点拨】1.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD中，设,ABaACb，则有以下的结论：①,ABACabAD通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若CABD,可判断四边形为平行四边形；②,,abADabCB若0ababab对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；()()0ababab对角线垂直.则平行四边形为菱形；③222222ababab说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||ababab，特别地，当ab、同向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、反向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、不共线||||||||||||ababab(这些和实数比较类似).2.向量平行的重要应用向量平行的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断平行；二是利用平行的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.学=科网向量平行(共线)的充要条件：//abab22()(||||)abab1212xyyx＝0;3.向量运算问题的两大处理思路向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算，实际上就是转化为代数问题，即向量问题坐标化.树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系时，要正确运用共线向量和平面向量的基本定理，去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为