专题32 平面向量的应用(解析版)

专题32平面向量的应用专题知识梳理1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的__三角形__法则、__平行四边形__法则，有时也用到向量减法的定义．(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔x1x2＝y1y2⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(5)用向量方法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在解析几何中的应用(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝a2a1；如果已知直线的斜率为k＝a2a1，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝a2a1(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－a1a2(x－x0)．考点探究考向1向量在平面几何中的应用【例】(1)（20191·泰州模拟）平面四边形ABCD中，AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则四边形ABCD的形状是________．(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为____；DE→·DC→的最大值为____．【解析】（1）AB→＋CD→＝0⇒AB→＝－CD→＝DC→⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(AB→－AD→)·AC→＝DB→·AC→＝0⇒DB→⊥AC→，所以平行四边形ABCD是菱形．(2)如图1，DE·CB＝(DA＋AE)·CB＝DA·CB＋AE·CB＝DA2＝1，DE·DC＝(DA＋AE)·DC＝DA·DC＋AE·DC＝AE·DC＝|AE|·|DC|≤|DC|2＝1.图1题组训练1.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)．【解析】由原等式，得OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，即AP→＝λ(AB→＋AC→)，根据平行四边形法则，知AB→＋AC→是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD→的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．2.若等边ABC的边长为32，平面内一点M满足CACBCM3261,则MBMA________.【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设(0,0),(23,0),(3,3)CAB这样利用向量关系式，求得M)21,233(，然后求得3135(,),(,)2222MAMB，运用数量积公式解得为-2。考向2平面向量与三角综合【例】在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(cosA，sinA)，向量n＝(2－sinA，cosA)，若|m＋n|＝2.(1)求角A的大小；(2)在△ABC外接圆的半径为2，b＝2，求边c的长．【解析】(1)依题意：m＋n＝(cosA－sinA＋2，cosA＋sinA)，因为|m＋n|＝2，所以(cosA－sinA＋2)2＋(cosA＋sinA)2＝4，化简得：sinA＝cosA⇒tanA＝1，故有A＝π4.(2)依题意，在△ABC中，由正弦定理asinA＝2R＝4，所以a＝22，由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2b·c·cosA，化简得：c2－22c－4＝0，解得c＝2＋6(负值舍去)．题组训练1.已知函数f(x)＝a·b＋12，其中a＝(3sinx－cosx，－1)，b＝(cosx,1)．(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若sin(A＋C)＝2sinA，求a、b的值．【解析】(1)f(x)＝a·b＋12＝3sinxcosx－cos2x－1＋12＝32sin2x－12(1＋cos2x)－12＝sin(2x－π6)－1.f(x)的最大值为0，最小正周期为π.(2)f(C)＝sin(2C－π6)－1＝0，又－π62C－π611π6，解得C＝π3.又∵sin(A＋C)＝sinB＝2sinA，由正弦定理得ab＝12，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3，即a2＋b2－ab＝9.②由①②解得：a＝3，b＝23.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(sinA2，cosA2)，n＝(cosA2，－cosA2)，且2m·n＋|m|＝22，AB→·AC→＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面积S.【解析】(1)因为2m·n＝2sinA2cosA2－2cos2A2＝sinA－(cosA＋1)＝2sin(A－π4)－1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝2sinA－π4＝22，即sin(A－π4)＝12.因为0＜A＜π，所以－π4＜A－π4＜3π4，所以A－π4＝π6，即A＝5π12.(2)cosA＝cos5π12＝cosπ6＋π4＝cosπ6cosπ4－sinπ6sinπ4＝6－24，因为AB→·AC→＝bccosA＝1，所以bc＝6＋2.又sinA＝sin5π12＝sinπ6＋π4＝6＋24，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC＝310.(1)若CA→·CB→＝92，求c的最小值；(2)设向量x＝(2sinB，－3)，y＝(cos2B，1－2sin2B2)，且x∥y，求sin(B－A)的值．【解析】(1)∵CA→·CB→＝92，∴abcosC＝92，∴ab＝15.∴c2＝a2＋b2－2abcosC≥2ab－2ab·310＝21(当且仅当a＝b时取等号)．∵c＞0，∴c≥21，∴c的最小值为21.(2)∵x∥y，∴2sinB1－2sin2B2＋3cos2B＝0，2sinBcosB＋3cos2B＝0，即sin2B＋3cos2B＝0，∴tan2B＝－3，∴2B＝2π3或5π3，∴B＝π3或5π6.∵cosC＝310＜32，∴C＞π6，∴B＝5π6(舍去)，∴B＝π3.∴sin(B－A)＝sin＝sinC－π3＝sinCcosπ3－cosCsinπ3＝9110×12－310×32＝91－3320.4.设向量a＝(sinx，cos2x)，b＝(3cosx，12)，函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0απ3，f(α2)＝45，求cosα的值．【解析】(1)f(x)＝3sinxcosx＋12cos2x＝32sin2x＋12cos2x＝sin(2x＋π6)，所以最小正周期T＝2π2＝π.(2)由f(α2)＝45，得sin(α＋π6)＝45，所以cos2(α＋π6)＝925.因为0απ3，所以π6α＋π6π2，所以cos(α＋π6)＝35.所以cosα＝cos(α＋π6－π6)＝cos(α＋π6)cosπ6＋sin(α＋π6)·sinπ6＝35×32＋45×12＝33＋410.考向3平面向量与解析几何【例】如图：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且AC→·BC→＝0，|OC→－OB→|＝2|BC→－BA→|.(1)求椭圆的方程；(2)若AB上的一点F满足BO→－2OA→＋3OF→＝0，求证：CF平分∠BCA.【解析】∵AC→BC→＝0，∴AC→⊥BC→，∠ACB＝90°.又|OC→－OB→|＝2|BC→－BA→|，即|BC→|＝2|AC→|，∴△AOC是等腰直角三角形．∵A(2,0)，∴C(1,1)，而点C在椭圆上，∴1a2＋1b2＝1，a＝2，∴b2＝43.∴所求椭圆方程为x24＋3y24＝1.(2)证明由(1)，得C(1,1)，B(－1，－1)．又BO→－2OA→＋3OF→＝0，即BO→＋OF→＝2OA→－2OF→⇒BF→＝2FA→，即点F分BA→所成的定比为2.设F(x0，y0)．∵x0＝－1＋2×21＋2＝1，y0＝－1＋2×01＋2＝－13，∴F(1，－13)．CF⊥x轴，∴∠ACF＝∠FCB＝45°，即CF平分∠BCA.题组训练1.已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE→·PF→的最小值是________．【解析】圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1，圆心M(2＋5cosθ，5sinθ)，半径为1，∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则PE→·PF→最小值是HE→·HF→，HC＝CM－1＝5－1＝4，HE＝HC2－CE2＝16－4＝23，sin∠CHE＝CECH＝12，∴cos∠EHF＝cos2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝12，HE→·HF→＝|HE→|·|HF→|cos∠EHF＝23×23×12＝6.2.已知平面上一定点C(2，0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．【解析】(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0，得|PC→|2－14|PQ→|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.(2)因PE→·PF→＝(NE→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NF→－NP→)·(NF→－NP→)＝NP2→－NF2→＝NP2→－1，P是椭圆x216＋y212＝1上的任一点，设P(x0，y0)，则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0，1)，所以NP2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17＝－13(y0＋3)2＋20.因y0∈，所以当y0＝－3时，NP2取得最大值20，故PE→·PF→的最大值为19；当y0＝23时，NP2取得最小值为13－43(此时x0＝0)，故PE→·PF→的最小值为12－43.