大学课件-微积分—导数

Thursday,October14,2021微积分——导数微积分主要与四类问题的处理相关:•一、已知物体运动的路程作为时间•的函数,求物体在任意时刻的•速度与加速度等;•二、求曲线的切线;•三、求已知函数的最大值与最小值;•四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。微积分创始人——莱布尼茨微积分创始人——莱布尼茨Thursday,October14,2021变化率问题变化率是研究什么问题？研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?（1）气球体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是34()3Vrr（2）如果将半径r表示为体积V的函数,那么：33()4VrV我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdmL(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdmL显然0.620.16问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?33()4VrV思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.hto问题2高台跳水请计算00.52:ttv和1时的平均速度hto如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态??hvt6549t计算运动员在0这段时间里的平均速度，思考下面问题；1）运动员在这段时间里是静止的吗？2）你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以：)0()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．49650t)/(0msthO65496598t平均变化率定义:121)()fxxx2f(x上述中的变化率：的表示，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率121)()fxxx2f(x平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)则平均变化率为yx121)()fxxx2f(x这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)2121,?fxfxfxyxxx思考：观察函数的图象平均变化率表示什么Oxy1xf2xfxfy12xfxf12xx1x2x直线AB的斜率AB例1求在x=x0附近的平均变化率()1fxx思考：如何求函数的平均变化率，步骤如何？总结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：1212)()(yxxxfxfx变式：函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-Δx答案：D例2：过曲线f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线。求：（1）Δy/Δx（2）当Δx=0.1时割线的斜率.3322(1)133()(1)330.10.13.31xkxxxx分析：t2验收：质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+t答案：A