电网络分析选论第五章动态电路的时域方程

第五章动态电路的时域方程线性时不变系统为重点介绍状态方程的列写和求解电网络分析的状态变量法就是状态方程法，是一种系统或电路分析的有效方法。这种方法列方程容易，不必化为一个变量的函数，状态变量的变化率可以用状态变量来表示，物理意义清楚，很适合用数值法求解，而且以状态方程为基础的状态空间分析对非线性和时变系统也很有效。目前线性非时变问题的状态方程，理论上都已解决，你们已学过的“矩阵论及其应用”第四章矩阵微分方程就有专门的论述。•状态变量分析的基本概念•状态方程的建立•线性状态方程的解析解法•状态方程的小信号分析•建立状态方程的五种方法主要内容•建立状态方程的五种方法直观法系统法（特有树）稀疏表格法改进节点法端口分析法§5-1状态变量分析的基本概念一、状态、状态变量、状态方程状态是一个抽象的概念。在自然界和工程技术领域中，状态是事物的一种客观存在(P184)。事实上，对系统和电路来说，所谓状态就是系统或电路的能量状态，下面给出定义。电路的状态：一组最少数据1.对于某一任意时刻t0，可以根据t0时刻的状态及t≥t0时的输入波形来唯一地确定t＞t0的任一时刻的状态；2.根据在t时刻的状态及t时刻的输入(或者输入的导数)能够唯一地确定在t时刻的任一电路变量的值。*电路的状态实质上是指电路的储能(量)状况。状态变量、状态向量和状态空间状态变量：描述状态的变量动态电路的状态变量是确定动态电路运动行为的一组最少变量。记作x1(t),x2(t),…,xn(t)是一组独立完备变量。初始状态:电路在初始时刻t＝t0的状态状态向量:n个状态变量x1(t)x2(t)、…、xn(t)构成的向量x(t)状态空间：以状态向量的各个分量x1、x2、…、xn为轴所构成的n维欧氏空间。(1)线性时不变网络xAxBuA为系数矩阵，B为控制矩阵()()ttxAxBu(,,)ftxxu(2)线性时变网络(3)非线性网络时变网络时不变网络(,)fxxu状态方程•状态方程若不是标准形式，可以变换成标准形式2ZZABu1zAzABBu规范化，变换成标准形式1xAxBuBu1xzBu变换，令例如21BABB•输出方程：联系输出与状态变量和输入之间的关系式yCxDuy为输出向量,x为状态向量,u为输入向量,C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵。()()ttyCxDu(,,)tyhxu(2)线性时变网络(3)非线性网络输出方程(1)线性时不变网络规范型状态方程的特征规范型状态方程的特征:(1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一阶导数;(2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数关系,但不出现对时间的导数项。(,)tExhxDu半状态描述E为奇异矩阵定义网络中独立初始条件的数目,即独立完备的状态变量数目。线性时不变网络的复杂度uC(或qC)和iL(或ΨL)选作电路的状态变量的个数。二、网络的复杂度(校外不讲！)(OrderofComplexity)•常态网络对于仅由电阻、电感、电容和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容和独立电压源组成的回路(称为C-E回路)和仅由电感和独立电流源构成的割集(称为L-J割集),则称为常态网络。C-E回路非常态网络含有C-E回路和／或L-J割集的网络称为非常态网络,又叫蜕化网络。1C2C3C4C1C2C3CsuC-E回路:仅由电容和/或电压源组成的回路C-E回路又称为纯电容回路或全电容回路L-J割集L-J割集:仅由电感和/或电流源组成的割集1L2Lsi1N2N1N2N常态网络的复杂度就等于网络中的储能元件的数目。dLCnbbL-J割集又称为纯电感割集或全电感割集独立电容电压C-E回路中一个电容电压不独立1C2C3C4C1C2C3Csu2u1u3u4u2u3u1u12340uuuu123suuuu独立电感电流CLCLdnnbbn非常态网络的复杂度L-J割集中一个电感电流不独立1L2Lsi1N2N1N2N2i1i1i2i3i1230iii12siii广义常态网络及其复杂度对于电阻、电感、电容、D型元件、E型元件和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容、D型元件和独立电压源组成的回路(广义C-E回路)和仅由电感、E型元件和独立电流源构成的割集(广义L-J割集),则称为广义常态网络,否则称为广义非常态网络。gDbkEkbkDkCLdnnbbn11广义常态网络的复杂度广义常态网络广义非常态网络的复杂度11DEbbdLCDkEkCDLEkknbbnnnn1111min()min()CDDELEnbbndLCDkEkDkEkkkkkDEnbbnnnnn当网络中不存在仅由D型元件和独立电压源组成的回路和仅由E型元件和独立电流源组成的割集时,等号成立。广义非常态网络的复杂度若存在，则：？？1111min()min()CDDELEnbbndLCDkEkDkEkkkkkDEnbbnnnnn其中为第k个广义C-E回路中所含电容和D型元件中最低阶元件的阶数（电容的阶数为1）；)min(Dkn)min(Ekn其中为第k个广义L-J回路中所含电感和E型元件中最低阶元件的阶数（电感的阶数为1）。确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法(1)用开路方法确定(广义)C-E回路数:开路isRLE型元件在开路操作后的子网络NCD中任选一个树,C-E回路数(广义)等于NCD中的连支数。用拓扑法决定独立的(广义)C-E回路和(广义)L-J割集(2)用短路方法确定(广义)L-J割集数：短路usRCD型元件在短路操作后的子网络NLE中任选一个树,L-J割集数(广义)等于NLE中的树支数。DEdnn0•C-E回路和L-J割集可通过网络的等效变换消去•对于含有受控源和负元件的网络复杂度与网络中的元件值有关。设网络有一个树T。T中含有所有的电压源、尽可能多的电容元件、电阻元件、尽可能少的电感元件等。三、C-E回路和L-J割集的消去树中的电压源、电容元件和补树中的电容元件组成C-E回路；树中的电感元件和补树中的电感元件和电流源元件组成L-J割集。（1）如果该回路中连支电容是压控的，树支电容要么都是压控的要么都是荷控的，则可开路连支电容,其它电容用等效的荷控电容代替。(2)如果该割集中树支电感是流控的,连支电感要么都是流控的要么都是链控的，则可用短路线代替树支电感,其它电感用等效链控电感代替。§5-2状态方程的建立直接编写法直观列写法系统列写法网络拓扑法间接编写法由输入－输出方程编写由转移函数编写由信号流图(或系统框图)编写状态方程的建立方法直接法间接法1、线性动态电路的状态方程列写步骤(1)选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为预选状态变量；一、状态方程的直观列写法(2)对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL和电容的VAR列写节点方程；(3)将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形。对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL和电感的VAR列写回路方程例1一、状态方程的直观列写法（续）借助拓扑图的列写步骤(1)包含所有的独立电压源；不包含独立电流源；(2)包含尽可能多的电容和压控型高阶元件；(3)包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；1.选择树（propertree）2.选树支上电容电压、压控型高阶元件电压和连支上电感电流、流控型高阶元件电流为预选状态变量3.对电容树支的基本割集列写KCL方程；对电感连支的基本回路列写KVL方程。4.借助未使用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形式。例2例3例4例52.线性时变网络的状态方程对时变电感元件，选磁链Ψ(t)作为状态变量。状态变量的选择对时变电容元件，选电荷qC(t)作为状态变量。例6非线性电路状态方程标准形式为(,)txFxx为n维状态变量向量，F是x的某种非线性函数向量。3.非线性动态电路状态方程列写状态变量的选择压控电容的电压、荷控电容的电荷流控电感的电流、链控电感的磁链一般取元件特性的控制量元件特性条件表先选树，再建方程拓扑条件类型树支连支电容荷控压控电感电阻忆阻流控流控荷控链控流控链控压控荷控链控非线性动态电路状态方程的列写示例例7例8例9例10Jump输入－输出方程到状态方程（校外不讲！）线性状态方程的解析方法（矩阵函数法、复频域解法都很有用，课件都有，请自学！）二、从输入－输出方程到状态方程•实现：由输入－输出方程确定其状态空间表示()(1)11nnnnmyayayaybu12(1)nnxyxyxy(1)()()()nytytyt、、、取为系统的n个状态变量,且设情形1ubxaxaxaxxxxxxxmnnnnnn121113221矩阵形式为即ubxxxxaaaaxxxxmnnnnnnn000100001000010121121121xAxBu121121010000010000010nnnnnmxxxxaaaabxABA为友矩阵•系统的输出方程12100nxxxyyCx100C即xxAnxxxˆ,,ˆ,ˆ212.设x1、x2、…、xn为所讨论系统的一组状态变量,而为该系统的另一组状态变量，则讨论1.若动态系统的输入函数为零,那么状态方程为)ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ(2121222111nnnnnxxxpxxxxpxxxxpx、、、、、、xˆxPnxxxˆ,,ˆ,ˆ212.设x1、x2、…、xn为所讨论系统的一组状态变量,而为该系统的另一组状态变量，则3.特征方程01A特征方程的根称为A的特征值或本征值，也称之为特征方程的特征根。BuxAPxPˆˆ11ˆˆxPAPxPBu011APP11PAP由特征方程xˆxPxAxBu得4.线性变换不改变特征值11PPA1(1)PAP11PPPAP11PAP1A11PPA•概括0tBuAxx0)0(xx0tAxx0)0(xx•若系统的输入为零,则有齐次状态方程一个n阶线性时不变动态系统,若输入中不含有导数项,则其状态方程为若ubdtdubdtudbdtudbyadtdyadtydadtydnnnnnnnnnnnn111101111(a)udtdudtuddtuddtydudtdxxudtdudtuddtydudtdxxudtdudtdxyudtdxxuyxnnnnnnnnnnn12221110111121220222231011201(b)取为状态变量情形20111103122133021122011100nnnnnaaabaaabaababb(c)（1）如果沿用状态变量,则所得的n个一阶微分方程为ubdtdubdtudbdtudbxaxaxaxxxxxxxnnnnnnnnnnnn11110121113221