工程力学111动力学习题课及作业习题解答

工程力学A(下)北京理工大学理学院力学系韩斌动力学习题解答1(第20章:20-9,20-12,20-14,20-16)202习题20.9均质细杆OA质量为m,长度为l,以铰链A与质量为m1,半径r的均质圆盘中心相连,不计摩擦,系统于图示水平位置无初速释放,求杆OA转至铅垂位置时,杆的角速度,角加速度及O处的约束力。解：受力分析：注意杆与圆盘是铰接，从约束条件分析：OA杆为定轴转动，盘为一般平面运动。A画出圆盘受力图AyFAxFgm1圆盘对质心动量矩守恒:000AAAAAAJLJL0A圆盘平移！仅重力作功，机械能守恒：3AOOA以O点所在平面为势能零点，系统初始静止：000VT222杆杆杆杆杆21212211)2161()(21)31(212121lmmlmmlvmJTAOglmmglV1120011VTVTlmmgmm)3()2(311杆()杆设杆转至铅垂位置时角速度为：杆4画出铅垂位置系统整体受力图：OxFOyFAOCgmgm1对固定点O的动量矩定理：0)(eOOMdtdL杆杆杆2112)3(31)(31lmmllmmlLO0)3(3121杆lmmdtdLO0杆杆CaAa由系统整体的质心运动定理：0OxFACOyammagmmF11)()()(22杆杆lalaAC2gmmmmgmmammagmmFACOy)3(2)2(3)()(1211115AB杆运动到铅直位置时，AB杆瞬时平动，以地面为势能零点,则由机械能守恒原理：1100TVTVBAl2ll3解：AB习题20-12已知细长杆AB长2l，B端置于光滑水平面，A端系有长l，质量不计的柔绳，杆于图示初始位置无初速释放。求：绳子运动到铅垂位置时，杆两端所受的约束力。绳子运动到铅垂时，杆上端受绳的拉力，下端受地面支持力。系统仅有重力作功—机械能守恒。6由机械能守恒原理：1100TVTVBvAvTFABBFCvgm0,2300TlmgV得glvC对质心的动量矩定理：cos21212lFFlmBT(1)y方向质心运动定理：BTCyFFmgma(2)BAl2ll321121,213CmvTlmgVglvvCA注意：对动点A或B列动量矩定理容易出错！7BvAvTFABBFCvgmAanAaBAa运动学补充方程：BAl2ll3nBABAAnABaaaaa由A，B两点的加速度关系lvA/2？？l20lvlA2cos20y方向：cos222lvA00nBAABa故cos2lg(3)对质心的动量矩定理：cos21212lFFlmBT(1)y方向质心运动定理：BTCyFFmgma(2)Ba8BvAvTFABBFBaCvgmAanAaBAaBAl2ll3几何关系：23cos,213sin2(5))(21)(21BAnABACaaaaaa又沿y方向投影，得：2222glvaaAnACy(4)9BAl2ll3几何关系：23cos,213sin2(5)2222glvaaAnACy(4)cos2lg(3)运动学补充方程：解得：mgmgFmgmgFBT3632273614336322736143()()对质心的动量矩定理：cos21212lFFlmBT(1)y方向质心运动定理：BTCyFFmgma(2)10已知AB杆长2r，质量m；圆盘半径r，质量m，初始位置AC垂直，∠BAC=45ο求：在重力作用下，初始瞬时位置时和AB垂直时，杆AB的角加速度及地面对圆盘的约束力。习题20-14Arrr2BCr11Arrr2BCrraaaeeaa解：1.初始瞬时系统静止：0,0,0轮杆Cv对动点C，建动系固连于杆AB，Creneaaaaaa)0(杆e00杆r2？轮r杆轮,0ra杆轮rr2杆轮2(1)分别取杆和轮为分离体，画出受力图找出，之间的运动学关系：杆轮设角加速度如图，12Cr1N2NgmfF轮ArrB1Ngm杆AxFAyF上述5个方程中，共有fFNN,,,,21杆轮五个未知量，可解得：对杆列定点A动量矩定理：rNrmgrm1222231杆(2)对圆盘列对质心的动量矩定理：rFmrf轮221(3)对圆盘列质心运动定理：ffxCxFNFNrmFma112222(4)02212NmgNFmayCy(5)杆轮2(1)运动学关系：13mgNmgFrgrgmgNf2635,263,133,2623,262921轮杆2.杆运动到铅垂位置时Arr2BCr331sin;32cos;212tanrr几何关系：杆轮rvavev补充运动学方程：由reavvv杆rve3轮rvacoseavv(*)杆轮2杆rvversin机械能守恒：2211VTVT取C点为势能零点。14Arr2BCr3杆轮rvavev机械能守恒：2211VTVT取C点为势能零点01TrmgV2212222222613)23213)2(21杆轮杆（mrmrrmT)2(2rrmgV31sin;32cos;212tanrr几何关系：(*)杆轮2杆rvversinrg13223）（杆()(6)15Arr2BCr3杆轮aaeanearaCarvavev23杆rane杆rae3222杆杆rvarcceneaaaara0cossin轮在水平方向投影：(**)杆杆杆轮21323622gr(7)当杆运动到铅垂位置时，分别画出杆和轮的受力图。Creneaaaaaa对动点C，建动系固连于杆AB，16Ar2Br3杆C轮gm1NAxFAxF1Ngm2NfF对杆：对定点A列动量矩定理：rNrm223112杆(8)对圆轮：对质心C列动量矩定理：rFmrf轮221(9)对圆轮列质心运动定理：fFNmr1轮(10)02mgN(11)杆轮213236gr(7)联立求解（7）——（11）17Ar2Br3杆C轮gm1NAxFAxF1Ngm2NfF解得：rg1691227）（杆负号表示()rg1692212）（轮()mgFf169)22(6()mgN2()18习题20-16已知：圆盘直径D=l，杆长为l，质量均为m。悬挂后杆端B突然受一水平向右冲击力F。FABC解：初始静止，分别以圆盘和杆为分离体画出受力图。OABCF求：该瞬时圆盘和杆的角加速度。gmgm盘OxFOyFAxFAyFAxFAyF杆19对圆盘，对固定点O应用动量矩定理：对杆，对质心C应用动量矩定理：221212lFlFmlAx杆(2)AxCxFFma(3)杆的水平方向质心运动定理：(1)lFlmAx盘2223OABCFgmgm盘OxFOyFAxFAyFAxFAyF杆（1）—（3）中有4个未知量：AxAxCxFFa,，，盘杆，(1)，(2)两式得：考虑到AxAxFFFml2494盘杆(4)注意：对动点A列动量矩定理容易出错！20ABC运动学补充条件：nCACAnAACaaaaa初始瞬时，0盘杆,故0nCAnAaa杆盘llaaaCAAC21(5)在x方向投影：盘杆AanAaCAanCAaCa解式（6）和（4）得：代入(3)并利用(1)得:Fml8114盘杆(6)mlPmlP52154杆盘()()AxCxFFma(3)Fml2494盘杆(4)(1)lFlmAx盘222321七、动力学基本定理的综合应用小结动力学基本定理包括：动能定理，动量定理(质心运动定理)，动量矩定理及相应的守恒定律。tFpddeR动量定理eR1FamCiini质心运动定理对定点O或质心C的动量矩定理:)(ddeOOMtL)(eCCMdtLd(单个刚体在其质量对称面内作一般平面运动时))(eOOMJ)(eCCMJ1212WTTiniWTdd1动能定理22第19,20章重点：1.刚体系统在任意时刻的动能、动量及对某点的动量矩的计算;难点：1.针对具体问题,选择适当的求解思路和定理,使求解过程尽量简洁;解题指导：1.各基本物理量(包括转动惯量、动能、动量、动量矩等)要概念清楚，能正确地进行计算。2.综合应用基本定理(特别是各守恒定律)求解平面运动的刚体系统的动力学问题(特别是求解速度,角速度及作功的力等量)。2.找出运动学补充条件。232.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的具体问题，适当选用定理。动能定理——标量方程,仅可求未知量大小,仅用动能定理只能求解一个未知量——仅与作功的力有关（作功的有外力也可有内力）动量定理质心运动定理——矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小和方向——只与外力系的主矢有关24动量矩定理——本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象为一标量方程——矩心选固定点或刚体的质心,方程形式才最简单机械能守恒,动量守恒,质心运动守恒,动量矩守恒——各有其成立的条件,可方便地求解系统运动状态(速度,角速度,位移)3.选用定理的基本原则(1)正确分析系统的受力,首先判断是否满足某个守恒定律(及是否在某投影轴上满足守恒定律),根据相应守恒定律求出未知运动学量(速度、角速度或位移等)。25(2)求约束力的问题,一般不能选用动能定理(理想约束力不作功),可用其他几个定理。(3)单自由度系统：速度(或角速度)和加速度(或角加速度)可用动能定理的积分和微分形式求；进一步求约束力可用其他定理。(4)若求加速度或角加速度：对质点系可用动量或质心运动定理；对单个定轴转动刚体，可用对转轴的动量矩定理；对单个一般平面运动刚体，可同时选用质心运动定理和对质心的动量矩定理。26(5)研究对象的选取：单自由度系统用动能定理时或不需求系统内部相互作用力时，可选整体为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切取适当分离体为研究对象。(7)对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体的运动状态(平移、定轴转动、一般平面运动)。(8)注意题中给出的系统在某特殊时刻的运动学条件(如:从静止释放…,突然剪断…)。(6)列动力学基本定理的方程时,常涉及多个运动学量(如某点速度、加速度,某刚体的角速度、角加速度)，需要列出运动学补充方程(如利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成关系、加速度合成关系,角速度合成关系、角加速度合成关系等)；有时还需补充力的某些条件(如静摩擦力的物理条件)。NfFFFmax27图示均质细杆AB质量为m,长为L,其B端与光滑水平面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为。试求杆无初速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。0yxo对杆进行受力分析：Oxyz建立图示直角坐标系解:CBANFmg杆受重力和地面支持力，0)(FeRx0Cv由于，且初始常数Cx根据质心运动守恒，有cos2lyC(1)即质心沿铅垂线运动：杆