工程数学复变函数积分变换场论59456

第八章第八章场论场论第一节矢性函数及其微分第二节数量场第三节矢量场第四节几种特殊的矢量场第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--22--第一节矢量函数及其微积分一矢性函数的概念二矢端曲线三矢性函数的微积分四导矢的几何意义五矢性函数的微分第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--33--一矢性函数的概念定义1,t变矢,A如果对于t在某个范围G内的每一个数值，都以唯一的一个确定的矢A量和它对应，则称A为数性变量t的矢性函数，记作)(tAA在空间直角坐标系下，)(tA矢性函数的三个坐标显然是t的函数.)()()(tAtAtAzyx、、给定一个变量，如果它没有方向，则称其为数性变如果它有方向，则称其为矢性变量。量，因此矢性函数)(tA的坐标表示式为ktAjtAitAAzyx)()()((8.1.1)设有数性变量第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--44--给定一个矢性函数),(tA如果将起点都放在坐标原点，则终点就描绘出一条曲线,xyzo()At称此曲线为矢性函数端曲线.)(tA的矢二矢端曲线(,,)Mxyz取起点为坐标原点O，终点(,,)Mxyz的矢量OM记为.r则rOMxiyjzk为点称为点M的矢径，(8.1.1)而称式为此曲线的方程.对矢性函数)(tA的矢端曲线上任意一点),,,(zyxM第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--55--矢量)(tA实际上为点M的向径，因此)(tAr即()xxAt()yyAt()zzAt这就是矢性函数)(tA的矢端曲线的参数方程.例如矢性函数kbtjtaitAtAsincos)(对应的参数方程为btztaytax,sin,cos(8.1.2)第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--66--再如给定参数方程taytax33sin,cos对应的矢性函数为jtbitaA33sincos因此研究一个矢性函数ktAjtAitAAzyx)()()(等价于研究三个有序的数性函数(),xxAt(),yyAt().zzAt第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--77--设起点O的矢性函数(),At时，当数性变量在其定义域内对应的矢量分别为(0)ttt()AttON则()()AttAt称为MNO的增量，记作(),AtOM三矢性函数的微积分从t变到MN()At()AttA矢性函数()At,A定义2设矢性函数)(tA在点t的某个邻域内有定义，并设在这个邻域内，tt果)(tA对应于t的增量A与t的比0t如时的极在第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--88--限存在，OMN()At()AttAAt()At则称此极限为矢性)(tA在点t处的导数记为dtAd或),(tA即tAdtAdt0limttAttAt)()(lim0函数(简称导矢),(8.1.3)设()()()(),xyzAtAtiAtjAtk由于tAitAxjtAyktAzdtAd0limt0limt0limt0limt所以ktAjtAitAtAzyx)()()()((8.1.4)第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--99--设矢性函数)()(tBBtAA、及数性函数)(tuu在t某个范围内可导，C为常矢量，k为常数，则在该范围内有：0dtCd(1)(2)dtBddtAdBAdtd)((3)dtAdkAkdtd)(由于矢性函数的导数的运算完全由三个数性函数确定，我们可以证明矢性函数仍有类似数性函数的求导公式.第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1010--(5)dtBdABdtAdBAdtd)((6)dtBdABdtAdBAdtd)((7)如果)(),(tuuuAAdtduduAddtAd特别dtAdAAdtd22（这里)2AAA(4)dtAduAdtduAudtd)(第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1111--定义3如果在t的某个区间I上，有),()(tAtB矢性函数)(tB为矢性函数)(tA在区间I上一个原函数。区间I上)(tA的原函数的全体称为)(tA的不定积分，为().Atdt如果则称)(tB记是)(tA在区间I上的一个原函数，则CtBdttA)()(ktAjtAitAtAzyx)()()()(由定义，如果类似我们可以定义矢性函数的不定积分，定积分,并且矢性函数的不定积分，定积分可以转化成三个数性函数来计算.(8.1.5)第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1212--则kdttAjdttAidttAdttAzyx)()()()(数性函数的不定积分的性质及其计算方法可以推广到矢性函数，例如dttBdttAdttBtA)()()]()([dttAkdttAk)()(adttudtatu)()(22221111()()()()TTTTxyzTTTTAtdtAtdtiAtdtjAtdtk(8.1.6)(8.1.7)第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1313--duuAdttutuA)()())((dttBtAtBtAdttBtA)()()()()()(dttBtAtBtAdttBtA)()()()()()(dttAadttAa)()(dttAadttAa)()(设矢性函数)(tB是矢性函数)(tA的一个原函数，则)()()(1221TBTBdttATT(8.1.8)第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1414--例1设,cos2sin3cos2)(ktjtittr求).(tr解)(trktjtit)cos2()sin3()cos2(ktjtitsin2cos3sin2例2设jiejiecossin)(,sincos)(1求),(),(1ee并证明).()(1ee解jie)(sin)(cos)(jicossin),(1ejie)(cos)sin()(1jisincos),(e)()(1ee0cossin)sin(cos).()(1ee第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1515--容易看出)(e的矢端曲线为xyO1()e2()e单位圆周，称其为圆函数。例3计算de)3(32解原式)3()3(3133deCe)3(3131例4计算dttAt)(解dttAt)()(tAtddttAtAt)()(CtAtAt)()(第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1616--例5设,32)(2ktjittA,ktiB计算10dtBA解10dtBA1010dtBABAjikjtitBA10210)(BdtAdtBA1010kktjtit1032)(()ijkk10dtBAjjiji2)()(ij第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1717--AN()AttM()AtOAtL设L为矢性函数)(tA的矢端曲线，t图所示，0tM()AtOLAAt0t()AttN四导矢的几何意义增加的方向如综上所述tA是在L的割线MN上的一个矢量，且指向曲线L对应t值增大的一方。第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1818--N()AttM()AtOAt()AtL当0t时，点N沿曲线L无限地接近,M割线的极限位置便是曲线L在M处的切线。因此导矢)(tA是这样一个矢量：它位于在曲线L在点M的切线上，且指向曲线L对应t值增大的一方。它位于在曲线第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--1919--例6求矢性函数ktjtitA23的矢端曲线在1t处指向t增加方向的单位切矢量。解指向t增加方向的切矢量。kjtitA232kjiAt231所求的单位切矢量为kjiAAtt141142143||00第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--2020--如果矢性函数t)(tA在点处可导，)()(tdtdttA称五矢性函数的微分为)(tA在点t处的微分，记作,Ad即dttAAd)((8.1.9)()AtO(0)tM(0)tdAdA我们易知:dA0,t如果与()At同向,dA0,t如果与()At反向.如果()()()(),xyzAtAtiAtjAtk则第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--2121--dttAAd)(kdttAjdttAidttAzyx)()()(kdAjdAidAAdzyx所以(8.1.10)下面介绍dsrd的几何意义将ktAjtAitAtAzyx)()()()(看成)(tA的矢端曲线),,(zyxM的矢径函数：L上的点kzjyixr因此),(),(),(tAztAytAxzyxkdzjdyidxrd222||dzdydxrd第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--2222--将曲线L看成有向曲线，如不特别强调的话，t增加的方向为L的正向。在L上取定一点0M作为计算弧长的起点，以L的正向作为弧长s增加的方向，L0MM在L上任一点),,(zyxM处，弧微分为222dzdydxds0ds0ds所以||||,drds||1.||drdrdsds这说明drds为一单位矢量.另一方面，如果选弧长s作为矢性函数A变量的话，第一节第一节矢性函数的微积分矢性函数的微积分第八章第八章场论场论吴新民--2323--由导矢的几何意义可知：端曲线的弧长s的导数dsrd为一切向单位矢量，且指向弧长s增加的一方。例7证明.dtrddtds解kdtdzjdtdyidtdxdtrd222dtd