工程数学习题集复变函数积分变换

1第1次复变函数（1）一、填空题。1.设(1)(2)(3)(3)(2)iiizii，则z=__________2.设5z,3arg()4zi,则z=________________3.不等式522zz所表示的区域是曲线_______________的内部。4.复数i31的三角表达式为二、请计算i1的值。三、已知21zz和是两个复数，证明)Re(2212221221zzzzzz四、下列坐标变换公式写成复数形式；1）平移公式：1111xxayyb，22）旋转公式：1111cossinsincosxxyyxy五、指出下列各题中点z的轨迹或所在范围，并作图。1）56z；2）21zi；3)314zz;4)312zz六、将下列方程（t为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：1）(1)zti；2）tibtazsincos(ba,为实常数)3）22iztt;4)ititzaebe3第2次复变函数（2）一、填空题1.241lim(12)zizz________________2.由映射2)(zzf得到的两个二元实函数),(yxu),(yxv.3.函数zzzf)(在0z时极限为4.已知映射3z,则点iz在该映射下在平面的象为二、对于映射11()2wzz，求出圆周|z|=4的像。三、函数1wz把下列z平面上的曲线映射成w平面上怎样的曲线？1）224xy；2）yx;3)1x;4)22(1)1xy.4四、设函数()fz在0z连续且0()0fz，那么可找到0z的小邻域，在这邻域内()0fz。五、设1()(),(0)2zzfzzizz.试证当0z时()fz的极限不存在。*六、设0lim()zzfzA，证明函数()fz在0z的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数0M，使在0z的某一去心邻域内有()fzM.5第三次解析函数（1）一、填空题1.设2.导函数在区域D解析的充要条件为3.设4.已知函数52)2()(izzf，则该函数的导数为二、讨论下面函数的可导性，如果可导，求出)(/zf.1）22)(iyxzf2）)Im()(zzzf三如果是的解析函数，证明6四、设为解析函数，试确定，，的值.五、证明柯西–黎曼方程的极坐标形式为.*六、设的解析函数，若记7第四次解析函数（2）一、填空题1）212）ii主值是.3）zezz1lim04）函数)Re()Im()(zzzzf仅在点z处可导.5)若函数)()(byxiayxzf在复平面上解析，则ab=二、求出下列全部解；(1)；(2).三．解方程8四、证明：当y时，趋于无穷大.五、求)3(iLn,)43(iLn和它们的主值.六.求，exp[(1+)/4]，和ii)1(的值.9第五次复积分的概念、柯西－古萨定理一、填空题1）设c为沿原点0z到点iz1的直线段，则cdzz_2__________。2）设c是椭圆2214yx，则dzzzC2sin。3）设c是ize，从到的一周，则Re()czdz。4）设c为正向圆周3z，则dzzzzc_＝__________。二、沿原点路线计算积分idzz302（1）自原点至3+i的直线段；（2）自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至3+i。三、求积分23Czdz的值，其中C为：（1）从1i到34i的直线段；（2）圆周11zi的正向。10四、试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C是正向单位圆周1z。（1）czzdz422（2）czdz21（3）dzzec2（4）czizdz22五、证明2sin2Czdzez，其中C是单位圆1z的一周。六、计算积分dzzz11211七、设()fz在原点的某邻域内连续，试证明200lim()2(0)irfredf11第六次复合闭路定理原函数与不定积分柯西积分公式一、填空题：1设c为负向圆周4z，则dzizecz5)(__________。2设c为正向圆周1z，则2cos2231Czdzzz__________。3积分20cosizzdz的值为。4积分32iziedz=。5设c为正向圆周5z，则23123Czdzzz的值为__________。二、沿指定曲线的正向计算下列积各积分(1);:,22aazcazdzc（2）.1:,5zcdzzecz（3）2,:3;(1)cdzczzz（4）2sin,:22;9czdzcziz12三、计算下列函数沿正向圆周的积分（1）,2314dzizzc其中c：4z；（2）,122dzzic其中61:zc四、计算积分2sin4,1czdzz其中C分别为：1(1)12z；1(2)12z；(3)2.z五、计算下列各题（1）10;sinzdzz（2）21(2)iizdz六、求积分,1dzzezz从而证明de)cos(sin0cos13第七次高阶导数公式解析函数与调和函数的关系一填空题1）、设)(zf＝dz2)2sin(，其中,2z则)3('f__________。2）、设C为负向圆周4z，则dzizecz5)(__________。3）、设C为任意实常数，那么由调和函数22uxy确定的解析函数()fzuiv是。4）、若函数32(,)uxyxaxy为某一解析函数的虚部，则常数a。二计算下列积分（1）,cos213dzzzccc其中2:1zc为正向，3:2zc为负向；（2）2221,:2;(1)czzdzczz（3）331,(1)(1)cdzzz其中C为复平面内不过1的一条正向简单闭曲线。14三下列各已知调和函数求解析函数viuzf(1);422yxyxyxu(2);02,22fyxyv四、证明2222,xuxyvxy都是调和函数，但是()fzuiv不是解析函数。五、设,sinyevpx求p的值使v为调和函数，并求出解析函数ivuzf。六、计算积分dzzC21的值，并由此计算0cos45cos210d15第八次复数项级数幂级数一、填空题（1）若幂级数0()nnnczi在iz处发散，那么该级数在2z处的敛散性为。（2）幂级数210(2)nnniz的收敛半径R=。（3）极限2lim1nnnini。（4）幂级数0(1)nnnz的和函数为。二、下列数列{}na是否收敛？如果收敛，求出它们的极限。1）nnia)21(；2）1)1(niann；3）sinninan三、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。1）08)56(nnni；2）02cosnnin3）02sinnnin；16四、求下列幂级数的收敛半径。1）12)!(nnnznn；2）1/nnnize；3）1(1)nnniz；4）21(34)nnniz五、把下列各函数展开成z的幂函数，并指出它们的收敛半径。1）311z；2）22)1(1z；六、求2(1)(2)nnnni的值。17第九次泰勒级数洛朗级数一、填空题（1）函数zarctan在0z处的泰勒展开式为（2）函数zzee1在||0z内的洛朗展开式为（3）函数sinze在0z处泰勒展开式的收敛半径为（4）设1(1),11(1)nnnazzzz，则3a（5）函数1()zzi在1zi内的洛朗展开式是二、求下列各函数在指定点0z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：1）1,110zzz；2）2,)2)(1(0zzzz；3）1,102zz；4）izz1,341018三、把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数。1）1,0||1;2|2|(1)(2)zzzzz；2）21,1||323zzz3）1|1|0;1||0,)1(12zzzz；四、设C为正向圆周3z，利用洛朗级数展开式计算下列积分：1）21(1)Cdzzz；2）(1)(2)Czdzzz。19第十次留数（1）一、填空题：1．设0z为函数22sinzz的m级零点，那么m2．如果0z是()fz的(1)mm级零点，那么0z是()fz的级零点。3．1z是函数11sin)1(zz的4．1z是3)1(sin)(zzzf的级极点。二、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：1）．221(1)zz2）．3211zzz3）．3sinzzz204）．1zez5）．21(1)(1)zze21第十一次留数（2）一、填空题：1设za为函数()fz的m级极点，那么()Res,()fzafz。2积分113zzdzez。32,21Re2zzzs=二、求下列函数在有限奇点处的留数：1）212zzz2）241zez3）4231(1)zz4）coszz5）21sinzz6）1sinzz22三、利用留数计算下列积分（圆周均取正向）1）22||2(1)zzedzz2)152243||3(1)(2)zzdzzz3)||11()()nnzdzzazb（其中为正整数，且||1,||1,||||abab）*五计算下列积分1）20153sind2）2401xdxx3）2sin1xxdxx23*第十二次共形映射一、填空题（1）将单位圆1z映射为圆域R的分式线性变换的一般形式为。（2）把上半平面0)Im(z映射成单位圆1)(z且满足0)1(i31)21(i的分式线性变换。（3）映射ze将带形域43)Im(0z映射为。（4）一般分式映射的性质有，，。（5）将点2,,2i映射为1,,1i的分式线性映射是。二、求2z在iz处的伸缩率和旋转角。问：将2z经过点iz且平行于实轴正向的曲线的切线方向映射成平面上哪一方向？并作图。三、求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件：1)0)21(f，1)1(f；242)0)21(f，2)21('argf；3）0)21(f，0)21('argf；四、求分式线性映射)(zf，它将0)Im(z映射成1且满足条件0)(if，2)('argif。五、证明任何一个分式线性映射dczbazw都可以认为1bcad。25第十三次傅立叶变换（1）一、填空题（1）设0a，,0(),0atatetftet，则函数)(tf的傅氏积分为_________________。（2）设2()sinftt，则)]([tfF___________________。（3）设()()ftt，则)]([tfF___________________。（4）设0()2()F，则)]([1wFF=___________________。（5）设2()sinftt，则)]([tfF=___________________。二、计算一下函数的傅氏变换：1）、矩形脉冲函数,0()0,Atftother；2）、2221,1()0,1ttftt；3）、0,0()sin2,0ttftett；264）、3()cosftt；5）、1,0sgn()1,0ttttt。三、已知某