武汉大学数学分析试题19922012年

武汉大学数学分析19921．给定数列如下：}{nx00x，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=−+11)1(1knnnxaxkkx，,2,1,0=n（1）证明数列收敛。}{nx（2）求出其极限值。2．设函数定义在区间)(xfI上，试对“函数在)(xfI上不一致连续”的含义作一肯定语气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数在区间xxln),0(+∞上不一致连续。3．设函数在区间上严格递增且连续，)(xf],0[a0)0(=f，为的反函数，试证明成立等式：。)(xg)(xf[]xxgaxxfafad)(d)()(00∫∫−=4．给定级数∑+∞=+01nnnx。（1）求它的和函数。)(xS（2）证明广义积分xxSd)(10∫收敛，交写出它的值。5．对于函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222yxyxyxyxyxf，证明：（1）处处对),(yxfx，对可导；y（2）偏导函数，有界；),(yxfx′),(yxfy′（3）在点不可微。),(yxf)0,0(（4）一阶偏导函数，中至少有一个在点不连续。),(yxfx′),(yxfy′)0,0(6．计算下列积分：（1）xxxxabdln10−∫，其中为常数，ba,ba0。（2），其中为平面上由直线∫∫−Dyyxedd2Dxy=及曲线31xy=围成的有界闭区域。武汉大学数学分析19941．设正无穷大数列（即对于任意正数}{nxM，存在自然数，当时，成立），NNnMxnE为的一切项组成的数集。试证必存在自然数}{nxp，使得Expinf=。2．设函数在点的某空心邻域内有定义，对于任意以为极限且含于的数列，极限都存在（有限数）。)(xf0x0U0x0U}{nx)(limnnxf∞→（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列来说，数列的极限是唯一确定的，即如果和是任意两个以为极限且含于的数列，那么总有}{nx)}({nxf}{nx}{nx′0x0U)(lim)(limnnnnxfxf′=∞→∞→。（2）记（1）中的唯一确定的极限为，试证：)}({nxfAAxfxx=→)(lim0。3．设函数在点的邻域)(xf0xI内有定义，证明：导数)(0xf′存在的充要条件是存在这样的函数，它在)(xgI内有定义，在点连续，且使得在0xI内成立等式：)()()()(00xgxxxfxf−+=，又这时还有)()(00xgxf=′。4．已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的。现假设有一函数，在区间上有定义，有界（存在正数)(xf],[baM，],[bax∈∀，有Mxf)(）；有唯一间断点（在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数在可积。a)(xf)(xf],[ba5．给定幂级数+−⋅++⋅+⋅)1(231232nnxxxn（1）确定它的收敛半径和收敛区间；（2）求它的和函数。)(xS6．计算线积分()yxyexyxeIxxCdcosd)sin2(422++−=−−∫+，其中是从点到点的半圆+C)0,1(A)0,1(−B21xy−=（11≤≤−x）。武汉大学数学分析19951．设上无界，证明存在子序列，使得}{na}{kna+∞→kna（当+∞→k）2．证明：。1dlim10=∫+∞→xenxn3．设在上连续，证明：)(xf]1,0[[]210d)(21dd)()1(xxfyxxfyfD∫∫∫=−。其中为三角形区域，，。D)0,0(O)1,0(A)0,1(B4．计算下列积分：∫−+−+−Lyzxxyzzxyd)(d)(d)(。其中平面与三坐标平面的交线，其方向为从看，曲线是逆时针方向。L1=++zyx)1,1,1(L5．判断级数∑+∞=⋅−1)1(nnnnn是否绝对收敛，条件收敛，为什么？6．设二元函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1cos)(),(22222222yxyxyxyxyxf。（1）求，。)0,0(xf)0,0(yf（2）证明，在不连续。),(yxfx),(yxfy)0,0(（3）证明：在可微。),(yxf)0,0(7．设对任意自然数n，在)(xfn[)+∞,a上连续，且反常积分xxfnad)(∫+∞关于n一致收敛，又对任意，在上有（当aM],[Ma)()(xfxfn→→+∞→n），证明：（1）反常积分收敛。xxfad)(∫+∞（2）。xxfxxfanand)(d)(lim∫∫+∞+∞+∞→=8．设证，问)|sin(|),(3yxyyxF+=（1）在附近是否满足)0,0(0),(=yxF的隐函数存在定理条件？（2）在附近关于是否严格单调？)0,0(),(yxFy（3）在附近，是否存在过在的唯一连续隐函数？为什么？)0,0()0,0(（3）若存在隐函数过点，问其导函数为何？)0,0(武汉大学数学分析19961．设)(+∞→→naan，令⎩⎨⎧≤=+0,00,nnnnaaaa，⎩⎨⎧≤=0,00,aaaa证明：。)(+∞→→++naan2．设，在可微，且Ayxfyxyx=→),(lim),(),(00),(yxg),(00yx0),(00=yxg。证明：（1）α+=Ayxf),(，()20200)()()(yyxxoxx−+−=−α，（）；),(),(00yxyx→（2）在可微。),(),(yxgyxfz=),(00yx3．设当，，],[bax∈0)(≥xf0/)(≡xf，且在上连续，证明：。)(xf],[ba0d)(∫xxfba4．给定级数nnxnn)(!)!2(!)!12(1−−∑∞=，证明：（1）121!)!2(!)!12(+−nnn；（2）此级数的收敛域为(；]1,1−（3）在是此级数不一致收敛。(]1,1−5．设)(xϕ，是连续函数，且有，当时)(xf0RRx≥||0)(=xϕ，证明：（1）当时有∞→n)0()()(fxnxfxϕϕ→→⎟⎠⎞⎜⎝⎛，+∞∞−x。（2）若还有，则1d)(=∫+∞∞−xxϕ)0(d)()(limfxxfnxnn=∫+∞∞−+∞→ϕ。5．计算积分，其中是椭球面yxxyzSdd∫∫S1222222=++czbyax在，部分并取其外侧，（）0≥x0≥y0,0,0cba武汉大学数学分析19971．设且不趋于，证明数列中存在子序列是收敛的子序列。0nana∞+}{na}{kna2．设为连续函数，且)(xf{}],[0)(baxfx⊂≠，+∞|||,|ba，证明：0d)(1lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∫+∞∞−+∞→yyfnyfn。3．设为连续函数，且当),(yxf)0,0(),(≠yx时，，及满足，。证明存在0),(yxf),(),(yxcfcycxf=0∀c0,βα，使得2222),(yxyxfyx+≤≤+βα。4．设有二阶连续偏导数，),,,(zyxtuu=Ω为空间的一有界闭集，它有光滑边界，处的单位外法向矢量为，证明：),,(zyxΩ∂Ω∂νzyxutSutuzyxutuddddd21dddd2(∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩΩ∂∇−∂∂⋅∂∂=∆⋅∂∂ν外侧）　其中222222zuyuxuu∂∂+∂∂+∂∂=∆，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇zuyuxuu,,5．设{}在上有定义，满足一致Lipschitz条件：)(xfn],[baxxNxfxfnn′−⋅≤′−)()(，N∈∀n，],[,baxx∈′∀其中为一常数，且逐点有（当0N)()(xfxfn→+∞→n）。证明：（1）在上连续。)(xf],[ba（2）)()(xfxfn→。6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(),(22yxyxyxyxgyxf，证明（1）若，0)0,0(=gg在可微，且)0,0(0)0,0(d=g，则在可微，且。f)0,0(0)0,0(d=f（2）若g在可导，且在可微，则)0,0(f)0,0(0)0,0(d=f。武汉大学数学分析19981．设数列有一子序列}{na{}kna收敛，且{}{}nnaak2∩及{}{}12+∩nnaak都有无穷多元，而及{都为单调数列，问是否收敛？为什么？{}na2}12+na}{na2．设在上满足Lipschitz条件，即存在，对任意有)(xf[)+∞,00m[)+∞∈′′′,0,xxxxmxfxf′′−′≤′′−′)()(，证明（)(αxf10α为常数）在[)+∞,0上一致连续。3．证明：0d1lim10=+∫∞→xxxnn。4．设331)(xnxxfn+=，，证明：[)+∞∈,0x（1）0→nf，[)+∞∈,0x；（2）。0)d(lim0=∫+∞∞→xxfnn5．设收敛，证明∑∞=12nna∑∞=1lnnnnna收敛（）0na6．证明函数方程在0)|sin(|tan3=+yxy⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∈4,4ππx内有唯一隐函数解。0)(=xy7．设Ω为平面上具有光滑边界XOYΩ∂的有界区域，)()(12Ω∩Ω∈CCu，且为非常值函数及u0=Ω∂u，证明0dd2222⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∫∫Ωyxyuxuu。武汉大学数学分析19991．设，31=u3432+=u，343343++=u，…，如果数列收敛，计算其极限，并证明数列收敛于上述极限。}{nu}{nu2．级数+−−+++−+−nn21)12(1514131211222是否收敛？为什么？3．求级数∑∞=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1)1(11nnnnxn的收敛区域。4．求函数在条件xyzzyxf=),,(1=+yx及下的极值。12=+−zyx5．计算积分，其中是椭球面yxxyzSdd∫∫S1222222=++czbyax在，部分并取其外侧。0≥x0≥y6．设为连续函数，证明f)0(d)(12lim2210fxxfxnnn=+∫∞→π。7．设在上连续，证明：若发散，则在)(xun],[ba∑∞=1)(nnxu∑∞=1)(nnxu[)ba,上非一致收敛。武汉大学数学分析20001．，，求证：)2(1nnnyyy−=+100y1lim=∞→nny。2．设函数在任何有限区间上可积，且)(xflxfx=+∞→)(lim。证明：lttfxxx=∫+∞→d)(1lim0。3．函数在区间上的拉格朗日中值公式为：)(xf],0[xxxffxf)()0()(θ′=−，其中10θ，θ是与及fx相关的量，对xxfarctan)(=求当时+→0xθ的极限值。4．求函数在222zyxf++=1=++czbyax下的最小值。5．计算积分，其中Σ是球面的外侧（）。yxzxzyzyxAdddddd222++=∫Σ2222)()()(rczbyax=−+−+−0r6．证明在中一致收敛。ttetudsin20−+∞∫[)+∞∈,0t7．设))(()()(1xyxxynnϕψ+=+，00)(yxy≡，),(+∞−∞∈x。满足0y)()(000yyxϕψ−=，)(xψ是连续有界函数，ϕ满足Lipschitz条件：yyyy′′−′≤′′−′αϕϕ)()(，10α。证明：（1）{}在上一致收敛。)(xyn),(+∞−∞（2）记)()(limxyxynn=∞→，则连续，并且)(xy00)(yxy=。（3）若再加上)(xψ是一致连续的，则也是一致连续的。)(xy武汉大学数学分析20011．设，用定义证明aan→33limaan=。2．证明xysin=在上一致连续。),0(+∞3．设在上连续，且{发散，证明)(xfn],[ba})(bfn{})(xfn在上不一致收敛。],[ba4．设xxxyIydsin)(2∫∞+=。（1）求的定义域。（2）计算)(yI)(yI′。5．计算积分xeIxd20−+∞∫=。6．计算，其中是球面在第一卦限部分并取球面外侧（）。zyxSdd3∫∫S2222azyx=++0a7．设()α+=11)(nnOa，其中0α，收敛，证明级数绝对收敛。}{nb∑+∞=1nnnba12004cÉnjÆêÆ©ÛïÁK˜!OŽK(K
6K,zK8©,
48©)1.limn!11a+2a2+


+nan;(a1)2.limx!+1sinpx+1sinpx3.limx!0Rx0sint2dtx34.1Pn=1