现代控制理论第3章线性控制系统的可控性和可观性

3.1能控性的定义3.2线性定常系统的能控性判别3.3线性连续定常系统的能观性3.4离散时间系统的能控性与能观性3.5时变系统的能控性与能观性3.6能控性与能观性的对偶关系3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8线性系统的结构分解3.9传递函数阵的实现问题3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系引言在控制工程中，有两个问题是设计者关心的，一是加入适当的控制后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用任意支配状态的能力(能控性)。二是通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态的能力(能观性)。这一章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义，在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如何对不能控和不能观测系统进行结构分解。3.1能控性的定义1．线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使系统由某一初始状态，转移到指定的任一终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。几点说明：1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻，初始状态为，而任意终端状态就指定为零状态。即2)也可以假定=0，而为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用，在有限时间内，能将由零状态驱动到任意。在这种情况下，称为状态的能达性。3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将驱动到，而不计较的轨迹如何。3.2线性定常系统的能控性判别3.2.1具有约旦标准型系统的能控性判别1．单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。或式中(2)(1)为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。(3)(4)(5)1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：(6)(7)2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分子方程组为：(8)(9)(10)(11)2．具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：(12)约当标准型判据(补充知识)(1)能控性在线性非奇异变换下的基本特性线性系统经线性非奇异变换后不会改变其能控性。(2)系统特征值互异情况下的对角标准型判据若系统BuAxx其系统矩阵A的特征值互异,由线性非奇异变换可将式(补1)变换为如下对角标准型nλλλ21、xxT（补1）uBxuBxABuTxATTxnλλλ2111则式(补1)系统状态完全能控的充分必要条件是经非奇异变换得到的式(补2)中，阵不含元素全为零的行。B(补2)例如，考察如下四个系统(1)uxxxxxx852300020001321321(2)uxxxxxx850300020001321321(3)21321321580520300020001uuxxxxxx(4)21321321580500300020001uuxxxxxx系统能控系统不能控系统能控系统不能控(3)系统特征值具有重特征值情况下约当标准型判据设线性定常系统BuAxx(补1)其A具有重特征值，其中为的重数，,,若经线性非奇异变换)())(2211重重（、重llqλqλqλiqiλnqqql21)(jiλλjixxT式(补1)变换为如下约当标准型ulBxJJJuBxABuTxATTx2111(补3)其中,为对应重特征值的约当标准块。因此系统状态完全能控的充分必要条件是:经过非奇异变换得到的约当标准型式(补3)中,输入矩阵中与每个约当标准块最后一行相对应的各行不是元素全为零的行。最后B行不全零iλB),,2,1(liJiiq),,2,1(liJi采用上述判据，考察如下三个系统：（1）系统能控uxxxx2040142121（2）系统不能控uxxxx0240142121（3）系统能控2143214321200210003000130000400014uuxxxxxxxx关于系统能控性的约当标准型判据,需要注意如下两点:1)若系统既有重特征值又有单特征值，其状态空间表达式经非奇异变换得到的约当标准型中，系统矩阵中既出现约当子块又出现对角子块，此时应综合运用上述对角标准型判据和约当标准型判据分析系统的能控性。例如,考察如下系统2143214321200200105000030000400014uuxxxxxxxx可见,该系统矩阵有一个约当块和一个对角块，与约当块最后一行对应的B阵中的那一行元素全为0，故该系统不能控。2）若A具有重特征值且为约当标准型,但中出现两个或两个以上与同一特征值对应的约当子块，则系统状态完全能控的充要条件是中与每个约当子块最后一行对应的各行不全为零;且中对应中相同特征值的全部约当子块最后一行的那些行线性无关。最后B行不全零且线性无关需要说明的是,由于任意一个1元素都是1阶约当块,因此主对角线元素相同时应当注意。ATTA1ABTB1BA考察如下系统（1）系统不能控u122002xx（2）系统不能控u310300030013xx（3）系统不能控uxx220111213000130000300013（4）系统能控uxx100112123000130000300013系统不能控uxx2041020007000300010005000000050000001500000004000000040000000400000014（5）3.2.2直接从A与B判别系统的能控性1．单输入系统线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵：满秩，即。否则，当时，系统为不能控的。2．多输入系统对多输入系统，其状态方程为：其能控的充分必要条件是矩阵：式中,B为阶矩阵；为r维列矢量。的秩为。(14)(15)证明:状态方程式（13）的解为0()()(0)()()ttttbdxΦxΦu根据能控性的定义，若系统是能控的，则对于任意的初始状态x(0)，应能找到输入u(t)，使初始状态x(0)在有限的时间区间内转移到零。],0[ft令,则上式可以写成0x)(,ffttt0()(0)()()dftffttbΦxΦu0将上式的积分项移到方程右边且方程两边左乘的逆阵可以得到:)(ftΦ)(ftΦ0(0)()()dftbxΦu(a)对于式(15)线性定常连续系统，有τeτAΦ)(根据凯莱-哈密顿定理，可将矩阵指数函数表示为τeAmnmmτταeτAΦA)()(10(b)将上式代入式（a）得110000(0)()()()()dffnnttmmmmmmbdbxAuAu(c)上式的第m项定积分记为ftmm0d)()(uU,1,2,1,0nm(d)因为u(t)为r维向量，故Um亦为r维向量，记为mrmmmuuu21U则210121(0)()nnbbbbxUAUAUAU01211nnbbbbUUAAAU(e)令21ncbbbbQAAA(3-20)110nUUUU（f）则式（e）写成UQxc)0(（g）式中,为n×r维向量，为维矩阵，x(0)为n维向量。UcQnrn若系统能控，则对于任意的x(0)，应能从上式（g）中解出。121nUUU、式（g）有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即cQ)0(xQc)0(rankrankxQQcc由于x(0)是任意给定的，欲使上式成立，必须满秩即。cQncQrank因此系统状态完全能控的充分必要条件是由A,b阵构成的能控性判别矩阵满秩，即1ncbbbQAA21rankrankncbbbbnQAAA【例】系统的状态方程如下，试判断其能控性。uaaa100100010210xx解:,001b201baA222121baaaA,因此判别矩阵为222212001[,,]011bAbAbaaaa它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论取何值，其秩为3，即=3=n,故系统总是能控的。12,aa2rank[,,]bAbAb3.3线性连续定常系统的能观性3.3.1能观性定义能观性所表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即如果对任意给定的输入，在有限观测时间,使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。(1)3.3.2定常系统能观性的判别定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。1．转换成约旦标准型的判别方法线性时不变系统的状态空问表达式为：(2)（2）系统特征值互异情况下的对角标准型判据若系统矩阵A的特征值互异，作线性非奇异变换nλλλ,,,21xTx将系统变换为如下对角线标准型线性系统经非奇异变换后不会改变其能观测性。(1)能观测性在线性非奇异变换下的基本特性xCxCTyxxAATxTxn211系统状态完全能观测的充分必要条件是对角线标准型阵不含元素全为零的列。C判断下列系统的能观测性系统能观xx300050007x546y系统不能观xx300050007x023y（1）（2）系统能观xx