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-1-参赛密码（由组委会填写）全全第十二届第十二届““中关村青联杯中关村青联杯””全国研究生全国研究生数学建模竞赛数学建模竞赛学校西安理工大学参赛队号10700022队员姓名1.路凯2.段伟锋3.王月岭-2-参赛密码（由组委会填写）第十二届第十二届““中关村青联杯中关村青联杯””全国研究生全国研究生数学建模竞赛数学建模竞赛题目数控加工刀具运动的优化控制摘要：数控加工技术正朝着高速高效高精度方向发展，研究刀具运动优化控制方法已成为现代高性能数控系统研究的重点。其实质是数控机床在精度、速度、加速度等限制条件下，寻求对机床刀具在各坐标轴方向上的运动进行合理控制，进而优化加工效率。针对问题一，以折线加工型线为研究对象，采用数字积分(DDA)插补算法逼近刀具期望运行轨迹，在满足指定加工误差的前提下，建立实时加工优化控制模型。首先，分析得折线加工型线间夹角范围与引入过渡直线条数的关系(见表1)。当直线插补次数大于()/rl时，折线加工型线轨迹可近似为圆弧。然后，在建立实时加工优化控制算法时，将折线加工型线分为三段（圆弧过渡段，圆弧过渡段前直线与圆弧过渡段后直线）分别分析讨论，通过匀速控制方法建立圆弧过渡段实时加工控制算法(见式(13))；通过加减速控制方法建立圆弧过渡段前直线和圆弧过渡段后实时加工控制算法，其分别见式(14)到式(17)和式(19)到式(21)。最后，通过上述模型求解得到当相邻两折线段夹角为90°时，折线交点对应的运动速度变化为)2/(22rvaayx；当相邻两折线段夹角为135°时速度的变化为rvarvayx/9239.0,/3827.022，且y方向的速度变化大于x方向的速度变化。两个角度下沿yx和轴方向的加速度与圆弧速率平方成正比，与圆弧半径成反比。针对问题二，以直线段和圆弧段组成的加工型线为研究对象，采用时间分割插补法对直线段和圆弧段相切情况的误差进行计算分析，可以满足加工要求。然后分析不相切的情况，得到不相切情况可以用相切情况来近似。接下来对相切情况建立S型加减速实时加工优化算法(式(34)到式(38))。因为每相邻的两条直线分别对应S型曲线的上升阶段与下降阶段，所以可用相邻两条直线与其间-3-的过渡圆弧模型(式(39)到式(43))来代替整个模型。由于S型曲线与x轴围成的面积和梯形加减速面积完全相等，因此计算过程可以用梯形加减速来代替。将S加速阶段等效为一个匀加速阶段，减速阶段等效为一个匀减速阶段，建立简化实时运动模型(式(45)到式(48))。在简化参数后得出当圆弧半径r增大时，加工总时间减小，加工效率增加；当r减小时，总时间增大，加工效率减小。在模型验证中利用极限加速度得到工件的2号节点不满足速度条件，舍弃节点2的速度条件后得到加工效率随圆弧半径的变化关系见图14，给定加工工件各运动阶段时间、经过的路径长度及特定点的速度见表2和表3。其中当圆弧半径cmr5.0时，加工指定工件的最短时间st4857.79。针对问题三，在考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度情况下，在第二问的基础上对加工初始速度和梯形加减速等效加速度约束条件进行修正，得到圆弧半径和算法效率间的加工优化控制模型。对该模型定性分析得出当圆弧半径r增大时，加工总时间减小，加工效率增加；当r减小时，总时间增大，加工效率减小。在模型验证中利用极限加速度得到工件的2号节点不满足速度条件，舍弃节点2的速度条件后得到加工效率随圆弧半径的变化关系见图16，给定加工工件各运动阶段时间、经过的路径长度及特定点的速度见表4和表5。其中当圆弧半径cmr5.0时，得到加工指定工件的最短时间st79.16955。通过二三问对比，得出考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度比不考虑情况下，工件加工时间减小，算法效率提高。针对问题四，在满足精度和速度要求的条件下，使加加速度连续可提高机床运行平稳性。分别进行了正向与反向两种思路分析。正向思路即先给定速度曲线，然后求导，使得加加速度连续；反向即先给定连续的加加速度曲线，使得两次积分后的速度曲线仍然保持平稳。正向方法用了三次样条速度曲线(见式(65))和分段三角函数(见式(76)到(82))优化控制运动模型，反向思路我们自己提出了使用傅里叶级数与sigmoid函数方法来建立提高机床运行平稳性的优化控制运动模型(分别见式(86)和(88))。最后将上述四种方法与S型加减速控制算法比较，发现四种方法都可以提高速度平稳性，其中sigmoid函数的加加速度的平滑性最好，最能提高速度的平稳性。关键词：数控加工优化控制S型加减速曲线傅里叶级数sigmoid函数-4-一、问题重述数控加工技术正朝着高速高效高精度方向发展，研究开发数控加工刀具加减速控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的重点。加工刀具运动的优化控制则是在数控机床所提供的精度、速度、加速度等限制条件下，寻求对机床刀具在各坐标轴方向上的运动进行合理控制，进而优化其加工效率。而对于一般曲线加工，加工控制算法就是在满足误差要求的条件下，通过插补的方法，找出若干小直线段组成加工刀具的运动轨迹，同时计算出刀具对应的运动速度、加速度。目前，数控加工对单个坐标运动的控制方法有多种，其中较有代表性的是基于S型曲线的加减速控制方法。其特点是将加减速过程分为7个阶段：加加速段、匀加速段、减加速段、匀速段、加减速段、匀减速段、减减速段，从而渐变地控制各段的加速度使机床运动速度按S型曲线形式平滑变化，以保证速度光顺，加速度连续，在一定程度上增强机床运行的平稳性。在基于S型曲线的运动过程中，对于速度和加速度都有一定的限制性要求，速度V不大于机床最大速度maxV，加速度a不大于机床最大加速度maxa，加加速度为常量constJ。在目前采用的S型速度控制曲线中，加速度每次都是从0增加，最后又降为0，而在实际运动过程中电机启动时允许有一个瞬时启动加速度a0，即认为加速度可以从0瞬间提高到瞬时加速度a0，或瞬间从a0下降到0，速度也有类似功能，这样整个加速过程及速度的变化规律有一些改变。假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损，加工刀具抽象为一点。对以下问题进行研究：问题一：设加工型线为折线，在指定加工误差（指在加工型线的法线方向上加工型线与刀具实际轨迹的差值的最大值）的条件下，建立实时加工优化控制算法，当相邻两折线段夹角为90°和135°时，讨论通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化；问题二：设加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在指定加工误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；并应用所建立的模型对下面的加工路径示例进行检验；问题三：在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法；并应用所建立的模型对下面的加工路径示例进行检验；问题四：结合前3问，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型（如刀具在各坐标轴方向上的运动满足加加速度连续变化等）。二、模型假设1、假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损，加工刀具抽象为一点；2、假设每个插补周期内，刀具进给速度是恒值；3、假设不考虑加工材料对给定速度的影响；4、假设刀具行进的每段路程都是机床分辨率的整数倍；5、假设刀具在到达圆弧段之前已达匀速状态。-5-三、符号说明符号符号含义max加工工件能接受的最大误差maxV机床的进给加速度的上界minV机床的进给加速度的下界maxa机床的进给加速度的上下界mina机床的进给加速度的上下界l机床分辨率gS期望的轨线的转折点和过渡圆弧之间的距离constJ车床系统的最大加加速度0加工型线为折线时进行直线插补过渡的阈值四、问题分析4.1问题一分析当加工型线为折线时，在指定加工误差条件下，建立实时加工优化控制算法，当相邻两折线段夹角为90°和135°时，讨论通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化。因为加工型线为折线，所以刀具不能直接转向，因此在折线交点处附近使用DDA插补法进行直线插补，并在这种插补方法下进行误差计算，使其在指定的加工误差以内。当插补的小直线段足够多时，其轨迹可近似于圆弧过渡段。然后，分别对过渡段，过渡段前的直线段和过渡段后的直线段进行建模。通过分析过渡段的模型，得出相邻两折线段夹角为90°和135°时折线交点时对应各坐标运动速度的变化。4.2问题二分析当加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线时，在指定加工误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；并应用所建立的模型对指定加工路径示例进行检验。首先对直线段和圆弧段相切与不相切的情况进行讨论，分别得出两种情况的模型。通过分析，不相切模型可以用相切情况来近似。因为每相邻的两条直线分别对应S型曲线的上升阶段与下降阶段，所以可用相邻两条直线与其间的过渡圆弧来代替整个模型。由于S型曲线与x轴围成的面积和梯形加减速面积完全相等，因此计算过程可以用梯形加减速来代替。将S加速阶段等效为一个匀加速阶段，减速阶段等效为一个匀减速阶段，建立简化运动模型。由于模型中有许多参数对圆弧半径有影响，无法直接定量判断圆弧半径的变化对算法效率的影响，因此定性分析得出结论。最后将模型应用到实际加工路径实例中进行验证。4.3问题三分析在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法；并应用所建立的模型对下面的加工路径示例进行检验。在本问中，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，即电机启动时允许有一个瞬时启动加速度0a，即认为加速度可以从0瞬间提高到瞬时加速度0a，或瞬间从0a下降到0，速度也有类似功能，这种情况相当于将S型曲线0a以及0v以下的部分去掉，其分析过程同第二问相差不大，只是加速度和速度的突变使得运动规律发生一些-6-变化，这使得约束条件也会因此而改变，但是建模的思路不变。同样在建立好模型之后，应用到实例中进行验证。4.4问题四分析在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型（如刀具在各坐标轴方向上的运动满足加加速度连续变化等）。本问题要求建立提高机床运行平稳性的优化控制运动模型，并且给出提高机床运行平稳性的解决方法，即刀具在各坐标轴方向上的运动满足加加速度连续变化。基于这种方法，通过查阅资料，分别进行了正向与反向两种思路分析，正向思路即先给定速度曲线，然后求导，使得加加速度连续；反向即先给定连续的加加速度曲线，使得两次积分后的速度曲线仍然保持平稳。正向方法用了三次样条曲线方法和分段三角函数方法，反向思路使用了傅里叶级数与sigmoid函数方法来建立提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。最后对几种方法优劣进行了对比。五、模型的建立与求解5.1问题一模型建立与求解由于机床在高速运行过程中，数控系统要求对机床平滑地控制，从而避免产生较大的冲击而影响工件加工质量，保护机床的进给系统[1,2]。当加工型线为折线，在指定加工误差的条件，采用过渡直线的方法来减小因加工型线夹角过大造成的刀具损害。5.1.1数控机床插补原理及方法在数控加工过程中，待加工工件外形具有多样性。为了满足加工精度要求，刀具中心轨迹应该完全符合工件的轮廓形状，但做到这点是相当困难的。如果要完成精细控制，会使控制算法变得很复杂。一般情况下，待加工工件允许有一定的加工误差，所以实际中，常采用一小段直线或者圆弧逼近。插补是数据密化的过程。对数控系统输入有限坐标点的情况下，数控系统根据线段特征(直线、圆弧、椭圆等)，应用一定控制算法，自动地在有限坐标点直线上生成一系列的坐标数据，即数据密化，从而完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求[3]。数控系统常用的插补算法有：逐点比较法、时间分割法、数字积分法(DDA)等。DDA插补具有运算速度快，脉冲分配均匀等特点，因此在实际的轮廓加工数控系统中得到广泛的应用。图1为DDA插补示意图。(a)DDA法直线插补轨迹(b)DDA法圆弧插补轨迹图1DDA插补