第十二届中关村青联杯全国研究生数控加工刀具运动的优化控制问题研究

I参赛密码（由组委会填写）第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛学校塔里木大学参赛队号107570021.牛瑞坤2.沈柳杨队员姓名3.鲁兵II参赛密码（由组委会填写）第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛题目数控加工刀具运动的优化控制问题研究摘要：数控加工刀具运动的优化控制就是在满足误差要求的条件下，通过各种优化控制算法，对机床刀具在各坐标轴上的运动进行合理优化控制。本文对S型曲线加减速控制算法进行了改进和优化，并提出了改进后的S型曲线加减速控制算法，并对其进行了数学推导与验证，改进后的算法较之前的算法具有运动平稳、冲击小、柔性好等优点。针对问题一，刀具的加工型线为折线的运动控制要求。首先，通过绘制刀具加工型线为折线的运动分析简图，结合题意和运动分析简图对刀具的运动过程进行了定性分析。在处理刀具的优化控制问题上，本文采用的控制方法是：在刀具经过加减速过程运行到距离90°折线拐点为允许的加工误差um1时，刀具沿Y轴方向上的运动开启，X轴方向上的运行速度逐渐减小，在两者的共同作用下实现90°的加工型线任务；在处理135°折线拐点的走刀问题上，通过机床两轴联动完成135°折线段的加工任务。虽然刀具的实际加工轮廓为弧线，但是其误差满足加工误差要求，因此不仅缩短了运行时间，提高了加工效率，而且规避了刀具由于加速度不连续产生的柔性冲击；其次，在定性分析和S型曲线加减速控制算法的基础上，对其算法进行了改进和优化，提出了改进的S型曲线加减速控制算法；最后，利用给定的已知参数，对所建立的模型进行了验证。III针对问题二，刀具的加工型线为直线和圆弧段组成的连续曲线的运动控制。首先，通过绘制刀具加工型线为直线和圆弧段组成的连续曲线的运动和速度分析简图，结合题意和分析简图对刀具的运动过程进行定性分析；其次，基于解决问题一的优化控制算法，建立实时的加工优化控制算法；最后，利用给定的加工路径示例对模型进行了检验。针对问题三，在问题二的基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度。运用矢量叠加基本原理对速度、加速度、加加速度进行分析，得出结论：由于机床可以获得瞬时速度和加速度，使机床的加速过程大大缩短，从而提高了加工效率。针对问题四，结合前三问，首先对S型曲线加减速控制方法的优缺点进行了分析；其次，在满足精度和速度控制要求的条件下，基于五次位移曲线的加减速控制算法，建立了机床运行平稳性的优化控制运动模型；最后，对所建立的模型进行了验证。通过对问题一、二、三、四问题的分析与解决，可以进一步构建提高机床运行平稳性的优化控制运动模型，深入分析并研究数控刀具在各个坐标轴方向上的运动满足加加速度连续变化等的相关问题，对数控加工刀具运动优化控制模型的进一步的改进和推广具有非常重大的意义。关键词：数控刀具；改进后的S型曲线加减速控制算法；加工型线；五次位移曲线11问题重述研究具有高速、高精度、有效柔性的加减速数控加工刀具运动控制方法，是研发现代高性能数控系统的研究重点。对机床各坐标轴上的刀具运动进行控制，其难点在于数控机床对三个坐标轴方向上的刀具运动是分开控制的，而且各方向上的运动必须要相互协调；加工刀具的走刀路线是由一系列首尾相互连接的直线段构成，因此加工刀具的运动轨迹与工件几何形状之间肯定存在加工误差；轨迹路线直线段对应的坐标增量都是对应机床分辨率的整数倍，导致刀具的运动方向受到限制，影响到刀具在坐标轴上的速度、加速度，进而影响到机床的平稳性。对加工刀具的运动进行优化控制，即在机床的限制条件下，对刀具在机床各坐标轴上的运动进行合理控制，从而优化其加工效率。目前，在数控加工控制方法研究中，具有代表性的是S型曲线加减速控制方法，其特点是将加减速过程分为七个阶段，通过渐变地控制各段的加速度，使机床运动速度按S型曲线形式平滑变化，以保证速度光顺，加速度连续，因此在一定程度上增强了机床运行的平稳性。在深入研究数控加工优化控制的基础上，本文完成以下工作：1.设加工型线为折线，在指定加工误差的条件下，建立实时加工优化控制算法，讨论当相邻两折线段夹角为90°和135°时，通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化；2.设加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在指定加工误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；并应用所建立的模型对给定的加工路径示例进行检验；3.在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法；并应用所建立的模型对给定的加工路径示例进行检验。4.结合前3问，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。2问题假设1）只考虑机床在三个坐标轴上的运动情况，忽略更复杂的五轴控制等情况；2）假设加速度可以从0瞬间提高到瞬时加速度a0，或瞬间从a0下降到0，速度也有类似功能；3）假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损，加工刀具抽象为一点；4）假设在X轴和Y轴上的运动，采用相同的插补周期；5）只考虑本题所提供的精度、速度、加速度等限制条件，忽略其他条件对模型的影响；6）不考虑机床的‘爬行’现象对刀具运动的影响。23符号说明符号表示的含义AV，BV距A点为1m处的速度（mm/s）；距B点为1m处的速度（mm/s）；t，71~TTt运行时间（s），71~TT各阶段运行时间（s）；a，maxAa加速度（mm/s2），maxA最大加速度（mm/s2）；末始，VV系统初始速度（mm/s），系统末速度（mm/s）；maxD系统可以达到的最大减速度（mm/s2）；F进给速度（mm/s）；J加加速度（mm/s3）；s，1Ss实际位移，1S不包含匀速运行阶段的位移；加工误差（um）刀具行走微小直线段对应的圆心角(º)误差允许范围（um）圆V刀具过圆弧线速度（mm/s）加工圆弧所对应的圆心角（º）N微小直线段的数量（个）每段微小直线段所对应的圆心角（º）R加工圆弧半径（mm）iV，i=1,2,3…加减速度各阶段速度（mm/s）n每个微小直线段对应的分辨率倍数4问题分析（1）对于问题1，加工型线为折线的刀具运动过程描述，如图1所示。刀具从O点下刀沿X轴方向运动，经历加减速过程到达A点，速度为xV（0xV），当A、B两点的距离小于等于1m时，机床Y轴方向的进给运动开始，刀具沿Y轴方向运动，速度从零开始增加到yV，xV则继续减小直至为零，由于xV没有直接到达B点后速度才降3到零，而是从A→B的运动过程中逐渐减为零，与此同时yV在逐渐增大，在两者的共同作用下实现90°的加工型线任务，虽然直角ABC段的实际走刀路径为弧线AC，但是误差满足加工误差要求，所以缩短了时间，提高了加工效率，规避了刀具在直角处B点的柔性冲击；刀具从C点继续沿Y轴运动，此时xV减至为零，经历加减速过程到达D点，速度为DV（0DV），当D、E两点的距离小于等于1m时，机床X轴负方向的进给运动开始，刀具沿GH方向的速度逐渐由零加速到GHV，与此同时刀具沿DE方向的速度由DV进一步加或减速为GHV，在刀具沿DE和GH方向运动的速度逐渐达到相等的过程中，刀具的实际加工轨迹为弧线DEF，刀具到达F点，此时刀具的合速度为GHFVV2,并沿FH方向经过加减速过程完成加工，从而实现135°的加工型线任务。虽然DEF折线段的实际走刀路径为弧线DEF，但是误差满足加工误差要求，所以缩短了时间，提高了加工效率，规避了刀具在E点的柔性冲击。135°AEHOBCDFGYX图1加工型线为折线的刀具运动过程描述（2）对于问题2，刀具的加工型线为直线和圆弧段组成的连续曲线，其运动过程描述如图2（a）所示，刀具在圆弧段的合速度变化规律情况，如图2（b）所示。刀具从O点下刀沿X轴方向运动，经历加减速过程到达J点，该点的速度对应图2（b）中的J点横坐标。此时Y轴方向上的分速度为零，机床Y轴方向的进给运动开始，刀具沿线段JM方向运动到达M点，Y轴方向上的分速度从零开始增加到MyV，X轴方向上的分速度从xV减小直至MxV，此时合速度对应图2（b）中的M点的坐标，刀具的实际加工轨迹为弧线JM段，直线段JM与弧线法线的垂直距离即为加工误差，但是满足加工误差的要求；之后刀具按照此规律继续运动，到达K点时，X轴上的分速度由MxV减为零，Y轴上的分速度由MyV增加到K点的纵坐标值。此外，在KL段的运动规律是JK段运动规律的相反过程。所以缩短了时间，提高了加工效率，规避了刀具在K点的柔性冲击。4JKLXYMoPoVMxVMyJKLMXY（a）刀具的加工型线及运动过程描述（b）刀具在加工圆弧段时，X和Y轴上的速度变化情况图2刀具运动过程及速度变化关系（3）对于问题3，在问题2的基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度。刀具的运动过程与问题2中不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度因素的情况类似。但是速度的变化规律有所不同，由于可以获得瞬时的启动速度和加速度，使机床的加速过程大大缩短，从而提高了加工效率。在处理问题上，采用与问题2中的处理算法类似。（4）对于问题4，结合前三问，在现有加减速控制方法的基础上，对S型曲线的加减速控制方法的优缺点进行了分析，在S型曲线的加减速控制方法的基础上，在满足精度和速度控制要求的条件下，基于五次位移曲线的加减速控制算法，建立了机床运行平稳性的优化控制运动模型。5模型建立与求解5.1问题1的模型建立与求解5.1.1改进的S型曲线加减速控制算法与验证常规的加减速控制方法有直线加减速算法、指数加减速算法、抛物线加减速法等，直线加减速法虽然简单，但是存在柔性冲击；指数加减速法和抛物线加减速法虽能充分利用步进电机的频距特性，但是加速度存在突变[1-5]。因此，还有学者提出将直线与指数两种加减速方法相结合，以避免速度突变，但是由于运算的复杂性，其具体操作较难。为此，本文基于S型曲线加减速控制方法进行优化和改进，提出了改进的S型曲线加减速控制算法。（Ⅰ）周期模型的建立与验证假设系统可以达到的最大进给速度为F，那么对于S型曲线加减速阶段运行时间、速度公式如下：5）（）（，）（）（，始始末始始始始始始始始始4,,03,2,,01,max2max2maxmax6max2maxmax75max2max2maxmax2max2maxmax31JDVFJDVFJDAVFTJDVFJDVFJVFJDTTJAVFJAVFJAAVFTJAVFJAVFJVFJATT根据给定的已知参数：6.0,02.0613.0aV，，，代入上式求得：因为JDVF2max始，所以94.130013012601T同理得：sT02，sT94.13，sT94.15，sT06，sT94.17sTT94.131，表示加加速和减加速阶段的时间为1.94秒；sTT062，表示匀加速和匀减速阶段的时间为0秒，即表示去掉匀加速和匀减速阶段，缩短时间，提高了系统的响应和加工效率。sTT94.175，表示加减速和减减速阶段的时间为1.94秒；（Ⅱ）速度的模型与验证根据速度、加速度、加加速度之间的相互关系，可以得出速度的数学模型：6）（，，，，，，，，，，，，，末始5tdtJt-J-tdtJ-tJtdt-ttJtdt-JT,tdtJT0tJtdtt71i61i567t61i51i556t51i41i4541i31i34t31i21i123tT21i1112t01161i51i41i21i1iiiiTiiTiiTiiiiTiiiTTTVVT