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-1-参赛密码（由组委会填写）全全第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛学校华北电力大学参赛队号10054013队员姓名1.于钊2.陈鹏伟3.崔岩-2-参赛密码（由组委会填写）第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛题目数控机床加工优化控制摘要：为了实现加工刀具运动的优化控制，本文对数控机床加工优化控制问题进行了研究。首先，基于矢量转接模型，分别建立了折线与直线圆弧段加工优化控制模型；其次，考虑到瞬时启动速度与瞬时启动加速度的存在，对矢量转接模型进行了修正并构建了优化控制修正模型；最后，为了协调加工稳定性与加工效率，借鉴正弦曲线微积分特性，建立了基于正弦函数加减速法的加工优化控制模型。针对问题一，采用最小偏差插补法作为直线段加工方法，并在矢量转接模型的基础上，分别对折线无误差加工、指定误差加工方式分别进行了分析与建模。在讨论直线段运动阶段划分的前提下，设计了折线加工的通用控制算法流程。以90°与135°折线作为算例，分析了各坐标轴速度变化情况。在转接数上对指定误差优化控制模型进行了改进，将转接数由二次转接推广到了多次转接，建立了多转接加工优化控制模型。针对问题二，基于圆弧段构成、进给速度、误差限制分析了圆弧段加工的合理方式，并建立了相应的圆弧段加工优化控制模型。考虑到直线圆弧段相切与不相切两种工况，基于指定误差折线加工优化控制模型，进行了直线圆弧段的加工优化控制建模。通过给定的圆角正方形示例对模型及设计算法进行了合理性验证，比较了分别采用S型加工曲线与非S型加工曲线的加工效率（用时86.2779s与84.5036s），结果显示S型加工曲线效率稍差。针对问题三，考虑到瞬时启动速度与瞬时启动加速度，对矢量转接模型进行了修正，并将其应用于折线与圆弧段加工优化控制模型中。圆角正方形示例验证结果表明，此时加工效率得到提高（用时81.9055s）。针对问题四，借鉴正弦曲线微积分特性，提出了基于正弦函数的加减速方法，该方法具有更为统一的构造形式，并保证了加加速度变化的连续性及速度变化的平缓性。基于该加减速方法，以直线段加工为例建立了加工优化控制模型，通过约束加速时间或限制加加速度幅值，可协调加工稳定性与加工效率。关键词：数控车床；矢量转接；正弦函数；S型曲线-3-一、问题重述1.1问题背景数控加工技术目的在于根据所给定的加工路径提前进行规划，保证速度的平滑过渡，避免因启动和停止时速度变化太大引起失步、震荡、超程现象，减少对机床的伤害冲击。目前，正朝着高速高效高精度方向发展，高速加工要求机床各运动轴都能够在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停，研究开发数控加工刀具运动满足高速、高精度要求的、有效柔性加减速控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的重点[1]。基于计算机的数控系统的工作原理是：首先通过计算机组成的数控编程系统对读入的零件信息进行存储和译码等处理后通过输入装置将它们传输给加工控制系统，然后由数控系统对输入的指令进行信息处理和轨迹插补计算出数控机床各坐标轴方向上刀具运动的控制信息[2]。上述环节的难点在于数控机床对加工刀具在三个坐标轴方向的运动，实行的是分别控制，但显然它们之间必须相互协调；加工刀具行走的路线一定是一系列首尾相接的直线段，因此加工刀具的运动轨迹一般与工件几何形状之间肯定存在误差；每一机床都有对应的分辨率，上述任一直线段对应的坐标增量记为,,xyz，则,,xyz的长度一定都是分辨率的整数倍，故加工刀具的运动方向受限制，并影响到加工刀具在三个坐标轴方向上的速度、加速度；要求机床运动平稳，速度光滑、加速度连续等[3]。加工刀具运动的优化控制则是在数控机床所提供的精度、速度、加速度等限制条件下，寻求对机床刀具在各坐标轴方向上的运动进行合理控制，进而优化其加工效率[4]。类似方程式赛车，有经验的车手可根据赛道特点及赛车的性能（如速度、加速度等）对赛车的行进路线及过程进行优化。而对于一般曲线加工，加工控制算法就是在满足误差要求的条件下，通过插补的方法，找出若干小直线段组成加工刀具的运动轨迹，同时计算出刀具对应的运动速度、加速度。目前，数控加工对单个坐标运动的控制方法有多种，其中较有代表性的是基于S型曲线的加减速控制方法[5]。其特点是将加减速过程分为7个阶段（每一段对应的加加速度为常量）：加加速段、匀加速段、减加速段、匀速段、加减速段、匀减速段、减减速段，从而渐变地控制各段的加速度使机床运动速度按S型曲线形式平滑变化，以保证速度光顺，加速度连续，在一定程度上增强机床运行的平稳性。此外，在实际运动过程中电机启动时允许有一个瞬时启动加速度a0，即认为加速度可以从0瞬间提高到瞬时加速度a0，或瞬间从a0下降到0，速度也有类似功能，这样整个加速过程及速度的变化规律有一些改变[6]。1.2问题提出假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损，加工刀具抽象为一点。希望同学们在深入研究数控加工优化控制的基础上，完成以下工作：-4-问题一：设加工型线为折线，在指定加工误差的条件下，建立实时加工优化控制算法，当相邻两折线段夹角为90°和135°时，讨论通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化；问题二：设加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在指定加工误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；并应用所建立的模型对下面的加工路径示例进行检验；问题三：在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法；并应用所建立的模型对下面的加工路径示例进行检验；问题四：结合前3问，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型（如刀具在各坐标轴方向上的运动满足加加速度连续变化等）。二、问题分析本文研究的是工件数控加工控制算法，属于非线性优化问题，涉及立体几何、牛顿力学等内容。问题一，针对加工型线为折线的加工优化控制问题。影响折线加工效率与精度的因素主要有两方面：1）直线段加工效率与精度；2）转折点转接效率与精度。前者受直线插补算法影响，后者受转接轨迹设计影响且为主要因素。在无误差要求情况下，加工的实际路径必须完全与加工型线一致，当且仅当通过转折处的进给速度降至足够低时才能保证零误差（加工算法误差）。在有允许误差存在的情况下，实际加工路径可以不经过转折点，进给速度约束有所提升，则有效减少加工时间。在该加工轨迹下，实际加工路径转折点处是由若干段过渡直线段组成，且过渡直线段越多，每次进给速度的偏转角度就越小，偏转时车床能够承受的进给速度就越大，从而减少了转接通过时间，但会导致车床机械损耗及加工成本相应增加。因此在指定加工误差的范围内，优化算法必须能够根据折线夹角的大小选择最优的控制方法，尽少使用过渡直线段[7]。问题二，针对加工型线为直线圆弧段的加工优化控制问题。影响直线圆弧段加工效率与精度的因素主要有两方面：1）直线段与圆弧段转接效率与精度；2）圆弧段加工效率与精度。对于前者，与问题一有相承接的关系，而后者则受圆弧段半径、弧心角及分段数的影响，是制约直线圆弧段加工效率与精度的重要因素。理论山，当圆弧段所含分接直线段数目越多，则其对转接进给速度的限制则越低，而相应的会增加对机床的机械损耗。因此，在指定加工误差与转接次数限制内，需要建立相应的加工优化控制模型，以实现加工效率与精度的优化目标[8]。问题三，针对实际加工时存在瞬时启动加速度与瞬时启动速度的加工优化控制问题。实际运动过程中电机启动时允许有一个瞬时启动加速度0a，即认为加速度可以从0瞬间提高到瞬时加速度0a，或瞬间从0a下降到0，速度也有类似功能。因此，在机床运动轨迹与运动参数可以依托瞬时启动加速度与瞬时启-5-动速度产生更为特殊与灵活的优化设计，从而需要将其纳入问题一与问题二建立的优化控制模型中，使之更为贴近实际工况。问题四，S型曲线加工方法在理论上能够提高工件加工过程的平稳性，从而利于避免因启动和停止时速度变化太大引起失步、震荡、超程现象，但同时也会一定程度上降低算法的加工效率。因此需要建立相应的协调控制模型以平衡两者，或在精度与效率的共同约束下，使速度与加速度变化更为平稳，尤其是在电机启动与停止时刻。三、模型假设及符号说明3.1模型假设假设1：微线段各顶点转接速率不变，即不考虑速率突变。假设2：忽略直线段自身因插补加工而导致的误差，即认为直线段加工误差相较于折线与圆弧段加工误差，可以忽略。假设3：刀头各进给方向最大允许加速度相同，受车床耐受力限制。3.2符号说明表1部分符号说明符号符号说明T插补周期maxA机床所能承受的最大加速度_maxSegV转接点最大进给速度指定加工误差折线或直线段与圆弧段夹角圆弧段弧心角Limitv转接点处速度限值maxv最大进给速度R圆弧段相应半径四、模型Ⅰ：折线加工优化控制模型4.1折线加工建模4.1.1直线最小偏差插补法直线段加工是折线加工的基础，选用最小偏差插补法[9]进行直线段加工。-6-以二维坐标系为例，设/eexy为直线段在xy坐标轴的分量比。为获得插补最小偏差，对进给方向做如下的规定：1）当eexy时，向x方向或对角线方向（45°方向）中偏差小的方向进给；2）当eexy时，向y方向或对角线方向中偏差小的方向进给。以(01)ykxk为例，由于/1/eexyk且01k，则插补方向为x轴方向或对角线方向中偏差小的方向进给，方向记为x、(,)xy。如下图所示,(,)iiOxy为插补起始点，A是在x方向上单步插补后的点，B是x方向上单步插补后对应的实际轨迹上的点，C是在(,)xy方向上单步插补后的点，具体如图1所示。xyO理想轨迹CAB(,)iixy图1最小偏差法插补原理示意则单步偏差函数为：()(1)()/ABiieieieeFxyyykxxyyxyx（1）(,)1(1)()/CBiieieieeeFxyyyykxxyyxyxx（2）由于计算时只关注偏差函数的符号，与数值大小无关，因此，可保留分子部分作为判别式()(,)2eefFxFxyFxy（3）式中，eieiFxyyx由图可知()0Fx，(,)0Fxy，通过判别函数的符号即可以选择进给方向。1）若0f，则|()||(,)|FxFxy，故进给x；2）若0f，则|()||(,)|FxFxy，故进给x，y。此分析方法同样适用于其他象限的分析，可在插补过程中的保证偏差最小。4.1.2直线段运动阶段划分对长度L直线段加工方法进一步讨论，以7阶段S型加工曲线加工过程为例，设起始速度与末端速度均为0v，加加速度constJ，最大加速度maxa，如图2所示[10][11]。-7-加加速匀加速减加速匀速加减速匀减速减减速T1T2T1T1T1T2T30J-J0amax-amax0Vmax0vmaxv1v1s2s3s4s5s6s7s图27阶段S型曲线加工分段示意则图中，3maxmax17026constconstaassvJJ（4）22maxmax3maxmaxmax0max262maxmax()(2)222constconstconstaVaVavVJssJJaa（5）max0maxmax3512max()2constvvaVssssJa（6）当12Ls，可仅选用加加速与减减速2个过程；1222Lss可选用加加速、匀加速、匀减速与减减速4个过程；123222Lsss可选用加加速、匀加速、减加速、加减速、匀减速与减减速6个过程；否则选择完整7个过程。4.1.3矢量转接模型对于连续微线段，最大进给速度受相邻线段的夹角限制，对于曲线则受制于曲线的曲率，常因设计者考虑的因素不同而有较大差异。对于折线加工，需要考虑速度约束条件，即具体的空间点上允许的最大进