222直线与圆的位置关系

1朝平面解析几何第二章2021年11月1日沛县歌风中学2009.10.192直线与圆的位置关系返回结束下一页1.直线的一般式方程为:____________________________3.圆的标准方程为：______________2.圆的一般式方程：__________________________________圆心为________)2,2(EDFED42122半径为______Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0圆心为半径为（a，b)r4.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0之间距离公式:0022AxByCdAB(A,B不同时为零)(其中D2+E2-4F0)35、点和圆的位置关系有几种？（3)点在圆外,则（2)点在圆上,则22020)()(rbyax),(00yxP),(00yxP22020)()(rbyax),(00yxP（1)点在圆内,则22020)()(rbyax4返回结束下一页问题1：请大家回忆一下直线和圆的位置关系有几种？分别是什么?5想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（1）（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（2）（3）直线与圆相离，没有公共点．（3）直线与圆的位置关系6大家都知道:点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离,这一数量关系来刻画他们的位置关系;那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画他们三种位置关系呢?下面我们一起来研究一下!7设直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0,X2+y2+Dx+Ey+F=0由方程组的解确定直线与圆的位置关系如果直线l与圆C有公共点，由于公共点同时在l和C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是l与C的公共点．由直线l和圆C的方程联立方程组Ax+By+C=0X2+y2+Dx+Ey+F=0有如下结论：8相离相切相交drd=rdr方程组无解方程组仅有一组解方程组有两组不同的解9例1求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．直线4x+3y=40与圆x2+y2=100的公共点的坐标就是方程组4x+3y=40x2+y2=100的解．解这个方程组得110x10y2145x2485y所以公共点坐标为．因为直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．1448(10,0),(,)55解：10例2自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.A(-1,4)yxo解法１：利用点到直线的距离公式解法２：联立成方程组，应用判别式求解．思考：过A点与圆相切的直线个数？11例3:求直线，被圆x2+y2=4截得的弦长3230xy典型例题12直线被圆截得的弦长：（1）几何方法：运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，计算弦长222drAB（3）代数方法：运用韦达定理求弦长：21ABABkxx211ABAByyk（2）代数方法：求交点，利用两点间的距离来求13解：将圆的方程写成标准形式，得：25)2(22yx5)254(522即圆心到所求直线的距离为．5如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为54变式：已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．)3,3(M021422yyx5414因为直线l过点，)3,3(M即：033kykx根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离：1|332|2kkd因此：51|332|2kk解：)3(3xky所以可设所求直线l的方程为：变式：已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．)3,3(M021422yyx5415例4．已知圆：，直线：，22(1)(2)25xy(21)(1)740mxmym()mR(1)证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程．16例4．已知圆：，直线：，22(1)(2)25xy(21)(1)740mxmym()mR(1)证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；17例4．已知圆：，直线：，22(1)(2)25xy(21)(1)740mxmym()mR(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程．。184.对称问题圆关于点对称，圆关于直线对称.例5.求圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4关于点(2,2)对称的圆的方程.练习.求圆(x－1)2＋(y－1)2＝4关于直线l：x－2y－2＝0对称的圆的方程.(x－3)2＋(y-5)2＝422117455xy1920212223例6:圆在处的切线方程.0422xyx)3,1(P解：由已知得圆的圆心O的坐标为（2，0），则有：3213opk所以所求切线的斜率为：31k)1(313xy即：023yx课后作业:试着用向量方法求解此切线的方程.直线与圆的位置关系下一页241:过圆x2＋y2＝r2上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2补充:2:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2上一页25（1）几何法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线斜率即可求出。（2）代数法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),代入圆方程得一个关于x的一元二次方程，由求k.0（二）、求过圆外一点的（x0,y0）的切线方程：(若斜率不存在或斜率为0,则可以直接判定过定点的直线是否与圆相切,进而确定k的取值.)26直线与圆的位置关系公共点个数公共点名称直线名称数量关系drd=rdr割线切线无交点切点无210相离相切相交四、课堂小结：1直线和圆的位置关系主要有三种:相离、相切、相交.（设⊙o半径为r,圆心到直线L的距离为d,那么:272小结：判断直线和圆的位置关系几何方法求圆心坐标及半径r（配方法）圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）代数方法0)()(222CByAxrbyax消去y（或x）20pxqxt0:0:0:相交相切相离:::drdrdr相交相切相离28直线与圆部分练习题1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（）A.4B.26C.5D.5.52、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是()A.x+y-3=0B.2x-y-6=0C.x-y-3=0D.2x+y-6=03、直线l:与圆x2+y2=1的关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定BCBsincos1xy294求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到x－y＋2＝0的最远、最近的距离.A23x-y+2=02+3272d=22x-y+2=07272r=+2227272r=222略解：圆心（，－）到直线的距离为：＋＝圆上的点到直线的最远距离为：＋最近距离为：－－思考：会求最远、最近点的位置吗？305、如果实数x,y满足(x-2)2+y2=3,试求的最大值，y-x的最小值.xyxC(2、0)y0C在处理直线与圆位置关系的问题时，我们可以借助代数法来求解，但更多地使用几何法，这样可使较复杂的问题变得更加直观、容易。数形结合31323334练习6、求通过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的交点，并且有最小面积的圆C`的方程.35A1.从点P(m,3)向圆引切线，则切线长最小值为_______YXO3-2-2PPP1)2()2(22yx62小结：切线长2+半径2=圆外点与圆心连线23637思考4:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程如何？MxoyBAx0x+y0y=r238(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：直线与圆的位置关系的判定方法：22BACbBaAd直线l：Ax+By+C=0圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)drd=rdr直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交39(2)利用直线与圆的公共点的个数进行判断：nrbyaxCByAx的解的个数为设方程组)()(0222n=0n=1n=2直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交△0△=0△040直线和圆的位置关系:•直线L和⊙O相交dr•直线L和⊙o相切d=r•直线L和⊙o相离dr注明:符号”“读作”等价于”.它表示从左端可以推出右端,并且从右端也可以推出左端.