24隐函数与参数方程的导数

1§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率小结思考题作业2定义由二元方程)(xfy0),(yxF)(xfy1.隐函数的定义)(xyy所确定的函数0),(yxF一、隐函数的导数称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.xy关于的隐函数客观存在,但无法将yx表达成的显式表达式.显化.32.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化如何求导4例1解0yxeexy设想把.,00xyxyyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程则得恒等式代入方程,)(xyy所确定的函数0yxeexy将此恒等式两边同时对x求导,得xxy)(xxe)(xye)()0(因为y是x的函数,是x的复合函数,所以ye求导时要用复合函数求导法,yyxxeyey0xeyeyyx0,0yx0x0y0x0y.15虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.yy一般来说,隐函数求导,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,6例2解,0sinyxey设.xy求法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得ycosxyye1yexxy0yyxxeyeycos解出,xy得法二从原方程中解出,x得yeyxsinyeysin7yeeyxyysinsin先求x对y的导数,得yx)sin(cosyyeyyeyysincos再利用反函数求导法则,得yxxy1yyxeyecos]cossin)1([yeyeyy8例32222,,lnarctandxyddxdyyxxy求设解求导得方程两边对x)(11122222yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxxyyxyxyyxyxdxdy9yxyxdxddxyd222)()1)(())(1(yxyyxyxy2)(22yxyyx3)()()(2yxyxyyxx322)()(2yxyx10例4.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx解得求导方程两边对,x34xy得求导,x212x.16134yyyxy0yyyxyyy21234yy0)1,0(41将上面方程两边再对y)1,0(010101014141414111.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx或解得求导方程两边对,x04433yyyxyx解得xyxyy3344得求导两边再对将,4433xxyxyyyy)4(3xy)12(2xy)4(3xy;41)1,0(y)1,0(.16123)4(xy)112(2×yy12例5求证抛物线ayx上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a证求导得两边对方程xayx02121dxdyyxxydxdy故曲线上任一点),(00yx处切线的斜率为0xxdxdyk00xy130xxdxdyk00xy切线方程为)(0000xxxyyy000000xyyxxyyx)(0000yxyx00yxa100yayxax故在两坐标轴上的截距之和为)(0000yxayaxaaaa1414解例例3求椭圆191622yx在)323,2(处的切线方程把椭圆方程的两边分别对x求导得所求的切线方程为从而yxy169当x2时323y代入上式得所求切线的斜率43|2xyk)2(43323xy即03843yx)2(43323xy即03843yx当x2时323y代入上式得所求切线的斜率当x2时323y代入上式得所求切线的斜率0928yyx15016)(2xxyexyyy由方程已知函数)0(y则解ye确定,yyx6y6x20yexyxy662y)6(yex)62(y)6(yey)62(yx2)6(yex00,0x00000y000000000y0216.)()2()(xvxu幂指函数3.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy如对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单..sinxxy适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法然后利用隐函数的求导法求出导数.17例6解yln求导得上式两边对xy1.,)4(1)1(23yexxxyx求设142)1(3111xxxy等式两边取对数得]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx)1ln(xx)1ln(31x)4ln(2x隐函数对这类型的题用取对数求导法很方便哦！18)(xu])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf两边对x求导得)(xf:幂指函数)(xf)(xv)0)((xu等式两边取对数得)()()(xuxuxv)(xf)(ln)(xuxv19对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.20例7解.),0(sinyxxyx求设xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx等式两边取对数得21例8dxdyaxaxaxynanaa求设)()()(2121解两边取对数得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay两边对x求导得nnaxaaxaaxayy22111][2211nnaxaaxaaxayy1121112()()[]naannnnaaaxaxaxaxaxa22注复合函数)0)(()()(xuxuyxv改写成)(ln)(xuxvey.),0(sinyxxyx求如上例),0(sinxxyx将则xxeylnsinxxln(cos)sinxx只要将,lnsinxxey改写成幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,23有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数yln两边对x求导yybalnxabaxln]lnln[xba]lnln[axbxb24.,1.12sinyxxyx求设.,.2yyxxy求设25.,1.12sinyxxyx求设解答求导得上式两边对x)1ln(lnln2sinxxyx)1ln(lnsin2xxx212sinlncosxxxxxxyy)12sinln(cos2xxxxxxyy等式两边取对数26.,.2yyxxy求设解答,lnlnyxxy,lnlnyyxyxyxy.lnln22xxxyyyxyy27二、由参数方程所确定的函数的导数)()(tytx若参数方程如,,22tytx2xt2ty42xxy21t称此为由参数方程所确定的函数.22x消参数困难或无法消参数如何求导.消去参数,间的函数关系与确定xy28,)(),(都可导再设函数tytxxyddtydd)()(tttxtyxydddddd即,)()(中在方程tytx具有设函数)(tx所以,tyddxtdd),(1xt单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得txdd1,0)(t且][y)(1x29的星形线323232ayx33cos([0,2])sinxattyat.ddxy求Oxytaa参数方程为星形线是一种圆内摆线例94dd小大30)cos()sin(dd33tataxyttattasincos3cossin322ttan),2(Znnt解31例10解txtyxyddddddttcos1sintaatacossin2cos12sindd2txy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax,2时当t所求切线方程为),12(ax.ay)12(axay)22(axy即32,)()(二阶可导若函数tytx)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()((容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt.)()()()()(322tttttdxyd即3322()()tdyddydxdydtdxdxdxdxdtdt记22()()()()ttdytdxt或()()dydytdtdxdxtdt34如:33ddxy注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.22ddddxyxtxydddd22dtxtxyddddd22xtdd35例11解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxtxtyxydddddd)sin(cos3cossin322ttattattan)dd(dddd22xyxxy)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec436例12.3222,11ydxydyxdxdytytx证明设证dtdxdtdydxdytt121121tt11yx)(22dxdydxddxyd)(yxdxd2yyxy2yyxy322yyx32y)2(22yx37221()1ttdytdxdxdt或332111121212211(1)21tttttytt38四、小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.39思考与练习求其反函数的导数.1.设由方程确定,求2.设3..,cossin1123232yxxxxxy求设4.已知，求32ttxeye22dydx2222arccotln(),,ydydyxyxdxdx5.设求40思考与练习求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导y1.设41由方程确定,解:方程两边对x求导,得0yxyyey再求导,得2yeyyxey)(02y②当0x时,,1y故由①得ey1)0(再代入②得21)0(ey求①2.设42.,cossin1123232yxxxxxy求设运用取