2实际问题的函数建模

§2实际问题的函数建模1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的方法；2.通过例题的学习，增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力。学习目标④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；数学建模过程：实际问题抽象概括数学模型推理演算数学模型的解还原说明实际问题的解例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240应用举例分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为p48040(x1)52040x而x0,52040x0,0x13-且即2p(52040x)x20040x520x200=--=-+-x6.5y\=当时，有最大值\只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.240(x6.5)1490=--+例2已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数.(1)当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？(2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围.1k2=解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设：当价格上涨x%时，销售总额为取,得：当x=50时，即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.2aby[kx100(1k)x10000]10000=-+-+1k2=2aby[(x50)22500]20000=--+max9yab8=(2)∵二次函数在上递增，在上递减∴适当地涨价，即x0,即就是0k1,能使销售总金额增加.2aby[kx100(1k)x10000]10000=-+-+50(1k)(,]k--?50(1k)[,)k-+?50(1k)0k-例3、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？（1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每期利率为r，本利和为y,存期为x,则复利函数式为y=p(1+r)x.思路分析（2）1期后本利和为：1yaara(1r)2期后本利和为：22ya(1r)……x期后，本利和为：xya(1r)将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式：55y1000(12.25%)10001.0225由计算器算得：y=1117.68（元）其中t表示经过的时间，表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。例4.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：ne0yy0y年份1950195119521953195419551956195719581959人数／万人55196563005748258796602666145662828645636599467207下表是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为于是,1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为由55196(1r)56300可得1951的人口增长率为1r0.0200同理可得，2r0.02103r0.02294r0.02505r0.01976r0.02237r0.02768r0.02229r0.0184123456789r,r,r,r,r,r,r,r,r.123456789r(rrrrrrrrr)90.0221根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.令0y55196,则我国在1950-1959年期间的人口增长模型为0.0221ty55196e,tN.由图像可以看出,所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.0.0221ty55196e,tN所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.将y=130000代入0.0221ty55196e,tN.t38.76.计算可得（2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)，求该处的海拔h（c,k为常量）y=cekx在海拔5(km)处的大气压强为0.5683(105Pa)，在海拔5.5(km)处的大气压强为0.5366(105Pa)，（1）问海拔6.710(km)处的大气压强约为多少？（精确到0.0001)y与x之间的函数关系式是是y(105Pa)，练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强解:(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366代入函数表达式y=cekx，得：把x=6.712代入上述函数式，得≈0.4668(105Pa)答：7(km)高空的大气压强为0.4516(105Pa).55.50.56830.5366kkcece0.1151.01kc0.11551.01(10Pa)xye0.1156.7121.01ye(2)由1.01·e-0.115x=0.5066答:该处的海拔为6(km)解得x=6(km)0.50660.115ln1.01x例5以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表身高体重607080901001101201301401501601706.137.909.9912.1515.0217.5026.8620.9231.1138.8547.2555.05⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数xyaxb,yalnxb,yab中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值．⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm体重78kg，他的体重是否正常？分析：(1)根据上表的数据描点画出图像（如下）(2)根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数来近似反映．根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似反映解：⑴将已知数据输入计算机，画出图像；如果取其中的两组数据（70，7.90）（160，47.25）xyab根据图像，选择函数进行拟合．代入函数xyab由计算器得a2,b1.02xy21.02从而函数模型为将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为xy21.02xy21.02175y21.02⑵将x=175代人得有计算器计算得y=63.98，所以，这个男生体重偏胖．781.221.263.98由于点评：函数拟合与预测的步骤：⑴能够根据原始数据、表格.绘出散点图；⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践,旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20元B.18元C.16元D.14元C2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为()A.95元B.100元C.105元D.110元Ay=(90+x-80)(400-20x)为常数)，xyabc,(a,b,c已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。3.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或2ypxqxr解：设二次函数为：pqr1p0.054p2qr1.2q0.359p3qr1.3r0.7由已知得2y0.05x0.35x0.7所以21y0.0540.3540.71.3当x=4时，又对于函数xyabc23abc1a0.8abc1.2b0.5abc1.3c1.4由已知得：x1y0.8()1.42所以421y0.8()1.41.352当x=4时，21|y1.37|0.020.07|y1.37|由四月份的实际产量为1.37万件,∴选用函数作模拟函数较好。x1y0.8()1.42（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2.本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。