312用二分法求方程的近似解

重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]§3.1.2用二分法求方程的近似解§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]2ababba对于给定的区间(,),+（1）定义为区间的中点，2（2）定义-为区间的长度。abε:艾普西隆§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]3对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint)。1.函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数；零点是一个点吗?函数y=f(x)的零点就是就是方程f(x)=0的实数根。从图像上看，函数y=f(x)的零点，就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。一.函数零点的概念：§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]43.怎样求函数y＝f(x)的零点的个数？2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点数形结合代数法图像法（2）将y＝f(x)变形，判断两图象交点个数（1）求相应方程f(x)=0的根（3）利用函数的图象、性质、零点存在性条件去求§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]5定理二.零点存在性定理思考1：零点唯一吗？思考3：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)·f(b)0，是否在(a,b)内函数就没有零点？思考2；若只给条件f(a)·f(b)0能否保证在(a,b)有零点？如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]6求证：函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且在区间(2,3)内。f(2)=_____,f(3)=_____如何求出这个零点？缩小零点所在的区间范围，直到满足精确度。单调§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]7。精确到的零点试求函数)01.0(62ln)(xxxf42-2-4y510x由前面的图像我们已经知道函数的零点个数是一个在区间(2,3)内，那么进一步的问题是如何找出这个零点（精确到0.01）？§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]8问题1：那么又用什么方法来将区间逐步缩小呢？取区间中点02abx问题2：区间分成两段后，又怎样确定在哪一个小的区间内呢？。否则在零点在成立与否，若成立则，判断),(),,(0)()(000bxxaxfaf§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]9下面我们一起来将区间逐步缩小从而找到其近似零点。5.2232)3,2()3,2(62ln)(1xxxxf的中点取区间内，的零点在区间函数）内。，的零点落在（，所以，函数，且由函数图像可知35.2)(0)3(0)2(084.0)5.2(xffff§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]10同理再取的中点因为故函数的零点落在区间再取的中点因为故函数的零点落在区间内再取的中点因为故函数的零点落在区间内再取的中点因为故函数的零点落在区间内（2.5，3）2.750)75.2()5.2(ff(2.5,2.75)(2.5,2.75)2.6250)625.2()5.2(ff(2.5,2.625)(2.5,2.625)2.56250)5625.2()5.2(ff(2.5,2.5625)(2.5,2.5625)2.531250)5625.2()53125.2(ff(2.53125,2.5625)§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]11再取的中点因为故函数的零点落在区间内(2.53125,2.546875)2.53906250)5390625.2()53125.2(ff(2.53125,2.5390625)再取的中点因为故函数的零点落在区间内(2.5312,2.5625)2.5468750)546875.2()53125.2(ff(2.53125,2.546875)§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]12零点所在区间区间端点的绝对值中点值中点函数近似值（2,3）12.5-0.084（2.5,3）0.52.750.512(2.5,2.75)0.252.6250.215（2.5,2.625）0.1252.56250.066（2.5,2.5625）0.06252.53125-0.009（2.53125,2.5625）0.031252.5468750.029（2.53125,2.546875）0.015622.53906250.010(2.53125,2.5390625)0.00781252.535156250.001§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]13)5390625.2,53125.2()54687.2,53125.2()5625.2,53125.2()5625.2,5.2()625.2,5.2()75.2,5.2()3,5.2()3,2(我们发现：01.00078125.053125.25390625.2区间确实是缩小了。而且，当精确度为0.01时，由于所以我们将＝2.53125作为函数的近似根（亦可将该区间内任意一点作为其近似根）。62ln)(xxxf§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]14二分法（bisectionmethod）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。定义如下：对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]15关键点1.零点的初始区间的确定2.缩小区间的方法3.零点的精确化§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]161.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)0,给定精确度ε；3.计算f(c)；2.求区间(a,b)的中点c；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)·f(c)0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c));（3）若f(c)·f(b)0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．一般步骤：编写程序§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]17用流程图表示如下：62ln)(xxxfba,区间端点值和输入精确度21bax?0)()(1xfaf1xb0)(1xfba或ba或输出1xa否是否是§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]18例题1借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。0732xx解：732)(xxfx令用计算器或计算机作出函数()237xfxx的对应值表与图象：x237xyx01234567-6-2310214075142§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]19(1)(2)0ff0x11.5x(1.5)0.33f观察右图和表格，可知，说明在区间（1，2）内有零点取区间（1，2）的中点，用计算器可的得x。y(1)(1.5)0ff0(1,1.5)x(1,1.5)21.25x(1.25)0.87f(1.25)(1.5)0ff0(1.25,1.5)x因为，所以，再取的中点，用计算器求得，因此，所以。§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]2000(1.375,1.5),(1.375,1.4375)xx1.3751.43750.06250.1(1.375,1.4375)同理可得，由，此时区间的两个端点，精确到0.1的近似值是1.375（或1.4375）§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]21思考：下列函数中能用二分法求零点的是____.(1)(4)§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]221.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)0,给定精确度ε；3.计算f(c)；2.求区间(a,b)的中点c；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)·f(c)0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c));（3）若f(c)·f(b)0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2~4．用二分法求函数零点近似值.步骤：§3.1.2用二分法求方程的近似解2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]23书面作业课堂练习教材P.91练习1.2教材P.92习题3.1A组2.3.4B组1