3221函数模型的应用实例一

重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]2一、新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数baxy)1,0(aaayx且)1,0(logaaxya且axycbxaxy2（a≠0）§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]3大家首先来看一个例子邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．5(5)()253(5)(5)xxfxxx＞从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]4例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示。(1)求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km图3.2-7vt(h)5080907565(km/h)12345O§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]5(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。这个函数的图象如图3.2-8所示S=解：根据图3.2-7，有50t+200480(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+22990≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5t01234520002100220023002400图3.2-8st/hv/(kmh-1)90705060301020408012345图3.2-7§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]6从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应用问题呢？§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]7例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207rteyy0其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]8思考1:我国1951年的人口增长率约为多少？年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，由55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率r1≈0.0200。§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]9思考2:如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)那么1951～1959年期间我国人口的年平均增长率是多少？年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207解：(2)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1+r1)=56300可得r1≈0.0200。同理可得，r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r5≈0.0197r6≈0.0223r7≈0.0276r8≈0.0222r9≈0.0184于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]10思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959年期间的人口增长模型是什么？年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为：Nteyt,551960221.0§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]11思考4:怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207解：(4)根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数的图象（图3.2-9）。由图3.2-9可以看出，所得模型与1951～1959年的实际人口数据基本吻合。97531024685000055000600006500070000图3.2-9ty§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]12思考5:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到13亿？年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207解：(5)将y=130000代入由计算器可得t≈38.76Nteyt,551960221.00221.055196ln130000lnt即所以,如果按上表的增长趋势，大约1950年后第39年（即1989年）我国人口就已达到13亿。,0221.055196ln130000lnt两边取对数有§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]13我国人口问题知多少?1、我国人口是什么时候达到13亿.２、我国的实际人口与人口模型得出的结果不一致的原因是什么？２００５年１月６日零点２分，中国第１３亿个公民在北京妇产医院出生，这一天也成为“中国１３亿人口日”。这个小公民为男性，体重３，６６０克，身长５２公分.我国人口的计划生育政策.控制了人口的增长。§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]14从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]15练习:某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，如下表：时间（小时）0123细菌数（个）2004008001600问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]16解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有x小时0123y（个）2004008001600点ABCD200＝200×20，400＝200×21，800＝200×22，1600＝200×23．此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为200×25＝6400（个）．从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y＝200·2x（x∈N）．§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]17应用函数知识解应用题的方法步骤：(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键.转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结做答。小结§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]18实际问题数学模型实际问题的解抽象概括数学模型的解还原说明推理演算总结解应用题的策略：§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]19④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)2021/11/1重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]20书面作业教材P.107习题3.2A组6