3初等函数的连续性

§3初等函数的连续性教学要求1．理解指数函数、对数函数与实指数幂函数的定义及其连续性2．理解一切初等函数在其定义区间上是连续的3．会用初等函数的连续性求函数的极限§3初等函数的连续性一、基本初等函数与初等函数基本初等函数常量函数:(),(fxcc为常数)幂函数:0(),(,fxxx为实数)指数函数:01(),(,)xfxaaa对数函数:01()log,(,)afxxaa三角函数:()sin,()cos,()tan,()cotfxxfxxfxxfxx反三角函数:()sin,()cos,fxarcxfxarcx()tan,()cotfxarcxfxarcx初等函数:由基本初等函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数.已知:三角函数、反三角函数、有理指数幂函数在其定义域连续.二、指数函数的连续性指数函数:01(),(,)xfxaaa当x为有理数时,xa已定义(意义明确).设0,a当,为有理数时:,().aaaaa当x为无理数时，定义:sup{|inf{|rxrxrrxaraar为有理数},1a.为有理数},01a.已证:当1a时,()xfxa单调递增;当01a时,()xfxa单调递减.性质:不妨设1.asup{|rraar为有理数}0,存在有理数,r使得.raasup{|rraar为有理数}0,存在有理数,s使得.saa定理4.10设0,,a为任意实数,则有,().aaaaa先证:.aaa即要证aaa且.aaa不妨设1.a由定义0,存在有理数,r使得.raa存在有理数,s使得.saa因xa单调递增,,rs得.rsaa而,rsrsaaa故得()(),aaa2(),aaaaa由的任意性,得.aaa同理,设p为有理数,且,p使得.paa再取有理数,rs以及,prs则有prsrsaaaaaa故得到,aaa由的任意性得.aaa所以有.aaa定理4.11指数函数01()(,)xfxaaa在R上连续.证:先设1.a由第三章§2例4知001lim,xxaa故()xfxa在0x连续.设0,xR0000()(),xxxxxxxfxaaaa令0,txx则0,xx有0.t故0000000lim()limlim.xxxxxtxxxxtfxaaaaa故0()xfxaxx在连续.当01a时,设1,ab则有1.b().xxfxab可视为ubux与的复合函数.由连续函数的复合函数的连续性可得()xfxa在R连续.三、初等函数的连续性由定理4.11,指数函数01()(,)xfxaaa在R上连续.由连续函数的反函数的连续性得,对函数logayx在(0,)连续.又yx可表示为ln,xyxe故在(0,)连续.定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理4.13任何初等函数都是其定义域上的连续函数.例8设000lim(),lim().xxxxuxavxb证明:0()lim().vxbxxuxa证:补充定义0(),uxa0(),vxb则(),()uxvx都在0x连续.从而00()()ln()lim()limvxvxuxxxxxuxeln.babea例9求01ln()lim.xxx解:01ln()limxxx101limln()xxx1ln.e例10求201ln()lim.cosxxx解:201ln()limcosxxx001.