书上的初等模型2

2.3函数模型例1.某工厂生产A，B两种产品，分别需要原材料每件2千克，3千克。消耗能源每件1百元，6百元。劳动力每件需要4个人工，2个人工，获利每件5千元，6千元。库存原材料有1750千克，能源消耗总额不超过2405百元，全厂工人2500人。试问怎样安排生产任务，可获得最大利润？并求出最大利润？分析：这是一道线性规划的建模题，可用图象解法或几何解法。xy解：设安排生产A种产品件，B种产品件，获利为S千克，y根据题意得yxSyxyxyxyx652500242405617503200),(yx0x0y175032yx250024yxyxS65显然满足以上条件的点在,,,这五条直线组成的凸五边形内,化为，24056yx见图2-1阴影部分，而6/6/5Sxyy175032yx250024yx其几何意义是一族斜率为-5/6的平行直线。过阴影区域的直线轴上有最大的截距。与的交点时S取得最大值。何时在显然过直线250024175032yxyx250500yx4000maxS由解得此时，AB即当生产种产品500件，种产品250件时，可获得最大利润，回顾：几何法求最值问题就是将约束条件转化为约束闭区域，再认清目标函数的几何意义，根据实际情况求其最值。最大利润为4000千元。ABDEF例2、两地分别生产同一规格产品12千吨，8千吨，而、、三地分别需要8千吨，6千吨，6千吨，每千吨运费如下表。怎样确定调运方案，可使运费最少？表2-1单位产品运费表DEFAxy12-x-y12B8-x6-yx+y-6886620ADxy分析：这是一道求运费最小值的优化问题，仍是线性规划问题，用几何法解之。设从运到为千吨，从A运到D为千吨，根据题意如下表：表2-2单位产品运费函数表万元到D到E到F从A456从B52406060801200yxyxyxyx约束条件为：图2-2线性示意图)6(4)6(2)8(5)12(654yxyxyxyxf1003yxf目标函数整理得,8x,6y,6yx12yx1003fxy作出,,,四条直线围成凸五边形，见图2-2阴影部分，目标函数化为其几何解释为与约束闭区域相交的斜率为3的一族平行线中，取在y轴有最小截距者，另外由常识知，一定在凸五边形的顶点处取得最值，由此列出表2-3。显然在（8，0）点取得最小值f为76.其实际意义是从A运到F4千吨，从B运到E6千吨，从B运到F2千吨，总运费最省，运费为76万元。表2-3运费示意图xyf068686640010688808276例3某商场在促销期间规定，商场内所有商品按标价80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后获得相应的金额奖券。表2-4促销方法消费金额范围（元）[200，400）[400，500）[500，700）[700，900）…获得奖券金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在商场购物可获得双重优惠。例如购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为110302.0400购买商品的优惠率为优惠率=购买商品获得的优惠额/商品标价试求：⑴购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠率是多少？⑵对标价在[500，800]之内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于1/3的优惠率？分析：这是商品的打折销售问题，为了准确计算必须对优惠率有清楚的了解。8008.01000%3310001302.01000解：⑴根据题意得消费金额为的奖券为130元，因此，得优惠率为元，这时获得x800500x8008.08.05008.0x6408.0400x⑵设商品标价为元，则.消费金额为，即5008.0400x31602.0xx由已知得：当时,此时无解；6408.0500x311002.0xx750625x当时，得，因此当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时可得到不小于1/3的优惠率。回顾：实际上本题中的优惠率为分段函数，即优惠率y与标价x的函数关系式为8006251002.0625500602.0xxxxxxy因此要分段进行计算，同时对打折销售的商品要保持数学的头脑，防止上当受骗。例5某新建商场设有百货部，服装部和家电部三个营销部，共有190名售货员，计划全商场日营业额为60万元。根据调查各部商品每一万元营业额所需售货员人数如表2-5，每一万元营业额获得利润如表2-6，商场计划将日营业额分配给三个营业部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为S(万元)，且满足19≤S≤20,又已知商场分配给经营部的日营业额为正整数万元。问这个商场怎样分配日营业额给三个营业部？各部分别安排多少名售货员？表2-5各部每万元营业额所需人数部门百货部服装部家电部人数542表2-6各部每万元营业额所得利润部门百货部服装部家电部利润0.30.50.2z分别为y,万元)（x,z(y,x,解：设商场分配给百货，服装，家电部营业额分别正整数）则，19024560zyxzyx解得2335225xyxz∴xzyxS35.05.222.05.03.02019S2035.05.2219x10750x又即解得，时均不为整数，故舍去‘时时，当30,20,10,,9;29,238zyxzyxzyx29238111zyx302010222zyx即或例10旅客在候车室等候检票，并且排队的旅客按一定的速度在增加，设检票的速度一定，若车站开放一个检票口，需要半小时方可将旅客全部检票进站，若同时开两个检票口，只需10分钟便可将旅客全部检票进站，现在有一辆增开列车，到站必须5分钟内将旅客全部检票进站，问此时车站至少应同时开几个检票口？xyzn解：设开始检票时，等候检票为人，排队每分钟增加人，每个检票口每分钟检票人，又设5分钟内检完票，个检票口,则有至少需要开设)3(55)2(10210)1(3030znyxzyxzyxzx152/zy2/7nNn4minn由（1），（2）可得,代入（3）,得，且∴即要使5分钟内检完票使旅客全部上车，至少需同时开放4个检票口。spg)(pgvk例20一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距（千米）,（千米/时），船在静水中的最大速度为(千米/时),已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在水中（千米/小时）的平方成正比，比例系数为。水速为常量的速度yv(1)把全程燃料费用（元）表示为船在静水中的速度（千米/小时）定义域；(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应为多少？的函数，并指出这个函数的pqvpv分析：这是一个实际船速及费用问题，题目中涉及的数量关系较多，应在认真审题的基础上弄清它们之间的关系而后建立“函数模型”求解，特别要注意：水速，船在静水中的最大速度为常量，，船在实际前进时的速度为变量。而船在静水中的速度pvspvskvy2解：（1）依题意知，船由甲地均匀行驶到乙地所用的时间为，用此全程燃料费用为（其中k为常数）pvvksy2)(q,pv所求函数为，，mpv)(q,pvmpvpq,m且)0((2)设船的实际前进速度，则由知，)2()(22pmpmksmpmksyp,m,s,kkspppksy4)22(,由题意可知都是正数，由均值不等式得mpm2pm当且仅当即时取等号。],0(pqppqqppqp220,0即pmy①若，即当时，全程燃料费用最少。],0(pqppq2),()(2mfmpmksy②若，即时，设],0(pqm)m(fy先证明当时，是减函数。pqmm210)mm)(pm(mmmks)mpmmmpm2(mmmksmp)(mksmp)(mks)f(m)f(m21212221222122212222212121设，则pqmm210ppq012mm0212mmp0))((2121222mmpmmmmks)()(21mfmf，且，，)m(fy)0(pq,故在区间上是减函数，pq2)pq(f)m(fpqmpqm当时有，当且仅当时取等号，即当时全程燃料费用最少。pq2ppq2pq综上所述，为使全程燃料费用最少，当时，船的实际前进（千米/小时）；当时，船的实际前进速度应为（千米/小时）。速度为回顾：本题建模要求并不高，但对数学知识要求较高，在解答第（2）问的过程中，首先使用换元法，使函数解析式简化，这是解决有关分式函数问题时常用的方法，在求函数的最值时，必须考虑最值能否取到，即最值是否在定义域内，正因为如此，引起了本题的讨论，这种方法又是分类讨论思想的体现。