二次函数性质的图像

§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像学习目标3.理解y=ax2与y=a(x+h)2+k(a≠0)及y=ax2+bx+c的图像之间的关系.4.能掌握二次函数的图象的平移变换函数开口方向对称轴顶点坐标22(4)5yx2()yaxhk2x4xxh0,0,aa时向上时向下(,)hk(4,5)(2,3)向下向上填表问题导引2(2)3yx在同一个坐标系下画出下列函数图像2（２）２yx2（１）yx2（４）－２yx2１（３）２yx22()0)（2）=和+（的图像之间有什么关系？yaxyaxhka220)（1）=和（的图像之间有什么关系？yxyaxa220)（3）=和+（的图像之间有什么关系？yaxyaxbxca思考：列表…-3-2-10123……9410149……188202818……202……-18-8-20-2-8-18…x2x212x22x22x92121292222yxyx与的图像2212yxyx与的图像222yxyx与的图像１.二次函数的图像可由的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到2yx２.a决定了图像的开口方向:a0开口向上,a0开口向下3.a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小，图像开口就越大抽象概括2yax(a0)下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为________________(4),(2),(3),(1)21(3)()3fxx21(2)()2fxx21(1)()4fxx2(4)()3fxx一在同一个坐标系中画出下列函数图像21)3yx（２）２(22yx（１）21)1yx（４）－3(2yx（３）-3动手实践对于二次函数(a≠0)的图像1.a决定了二次函数图像的开口大小及方向2()yaxhk2.hhh决定了二次函数图像的左右平移“正左移，负右移”3.kkk决定了二次函数图像的上下平移“正上移，负下移”抽象概括将二次函数的图像平行移动,顶点移到(-3，2),则它的解析式为____________23yx23(3)2yx二例1.二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的表达式2g(x)x,f(x)(4,7);(1)函数图像的顶点是2g(x)2(x1),f(x)(3,2).(2)函数图像的顶点是222f(x)g(x)x,,(4,7),f(x)(x4)7x8x9(1)因为与的图像开口大小相同开口方向也相同f(x)图像的顶点是所以22yx8x12(x4)4解析：221yx8x12yx．由如何变换得到？2yx故由向右平移4个单位，再向下平移4个单位得到思考：22y2x8x12y2x２.由如何变换得到？22222y2x8x122x4x)122x4x44)122(x2)4y2x2（（故应由向右平移个单位，再向上平移4个解析：单位得到2.由的图像经过怎样的平移变换，可以得到的图像.右移2单位，下移5单位23(2)5yx22(1)f(x)35x2x;3(2)f(x)x2x.41.把下列二次函数配方:2549()2()48fxx23yx2344()()433fxx3.把函数的图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位所得图像对应的函数解析式为__________.2yx3x22y(x2)3(x2)3x7x7二次函数图象间的变换习题课(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)间的变换纵坐标a左h上k右下hk二次函数的图象的平移画出函数y＝12x2－6x＋21的图象，并指出由函数y＝x2如何平移得到y＝12x2－6x＋21？1.函数y＝x2的图象平移个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2的图象，再平移个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2－1的图象.若想要变回原来的函数，则需平移个单位长度，再平移个单位长度.【答案】向左2向下1向上1向右2求二次函数的解析式二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式.【思路点拨】二次函数的一般式是y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c为待定系数，应当根据三个条件，列出三个方程，进而求出待定的系数，写出函数解析式，本题给出的顶点坐标(2,3)还隐含着图象的对称轴x＝2这样一个条件，即.22ba【解析】方法一：设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c.由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1)，函数图象的对称轴是－b2a＝2.得方程组9a＋3b＋c＝1，4a＋2b＋c＝3，－b2a＝2.解这个方程组，得a＝－2，b＝8，c＝－5.∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5.方法二：二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐标是(2,3)，故有y＝a(x－2)2＋3，这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1)，所以x＝3，y＝1满足于关系式y＝a(x－2)2＋3，从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2.∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.2.已知二次函数y＝f(x)满足以下条件，求该函数的解析式：(1)图象过A(0,1)，B(1,2)，C(2，－1)三点；(2)图象顶点是(－2,3)，且过点(－1,5).【解析】(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知函数的图象经过(0,1)，(1,2)，(2，－1)三点，得c＝1a＋b＋c＝24a＋2b＋c＝－1，解得a＝－2b＝3c＝1，∴函数的解析式为y＝－2x2＋3x＋1.(2)设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其顶点的坐标是(h，k).∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y＝a(x＋2)2＋3.又∵图象过点(－1,5)，∴5＝a(－1＋2)2＋3.∴a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.即函数的解析式为y＝2x2＋8x＋11.如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x＋4)2＋k？【错解】要得到y＝2(x＋4)2＋k的图象，只需将y＝2x2的图象向左平移4个单位【错因】没有对k进行讨论，k的正负、上下是不同的.【正解】要得到y＝2(x＋4)2＋k的图象，只需将y＝2x2的图象向左平移4个单位，当k＞0时，向上平移k个单位，当k＝0时，不作平移，当k＜0时，向下平移|k|个单位.1.二次函数y＝x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图象的二次函数是()A.y＝x2＋2B.y＝2x2C.y＝x2D.y＝x2－2【答案】B122.函数y＝x2－5x＋1的对称轴和顶点坐标分别是()A.x＝5，B.x＝－5，C.x＝5，D.x＝－5，【答案】A12235,2235,2235,2235,23.二次函数的顶点坐标为(2，－1)，且过点(3,1)，则解析式为.【答案】y＝2x2－8x＋74.对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标.(2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得来？【解析】∵y＝－(x－2)2＋7，∴(1)开口向下；对称轴方程为x＝2；顶点坐标为(2,7)；(2)先将y＝－x2的图象向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图象.