二次函数的图像和性质2

二次函数图象和性质练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。1)y=2(x+3)2+52)y=4(x-3)2+73)y=-3(x-1)2-24)y=-5(x+2)2-6练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是()Ay=-2x2-2By=2x2-2Cy=-1/2(x+2)2-2Dy=-5(x-2)2-6C1.抛物线的顶点为(3,5)此抛物线的解析式可设为()Ay=a(x+3)2+5By=a(x-3)2+5Cy=a(x-3)2-5Dy=a(x+3)2-52.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的解析式_____你答对了吗?1.B2.y=-2(x-1)2-33．的顶点坐标是，对称轴是．2325yx(－2，－5)直线x＝－21．用配方法把2yaxbxc2yaxhk化为的形式。的形式，求出顶点坐标和对称轴。215322yxx2yaxhk例1用配方法把化为215322yxx解：顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－321322x答案：，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线x＝1．的形式，求出顶点坐标和对称轴。2247yxx2yaxhk2215yx练习1用配方法把化为的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程“”类似．具体演算如下：化为的形式。2．用公式法把抛物线2yaxbxc2yaxhk2yaxbxc2yaxhk把变形为20axbxc2yaxbxc24,24bacbaa2bxa所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。2yaxbxc22222bbbcaxxaaaa222424bacbaxaa22424bacbaxaa2bcaxxaa的形式，求出对称轴和顶点坐标．21522yxx2yaxhk例2用公式法把化为21522yxx15,1,22abc221541144221,2112422422bacbaa21122yx解：在中，，∴顶点为（1，－2），对称轴为直线x＝1。的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案：，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线x＝22286yxx2yaxhk2222yx练习2用公式法把化成3．2yaxbxc图象的画法．2yaxbxc2yaxhk步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。的图像，利用函数图像回答：例3画出2286yxx(1)x取什么值时，y＝0？(2)x取什么值时，y＞0？(3)x取什么值时，y＜0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2.(2)当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1，0)的轴对称点是点(3，0)．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是22860yxx的图象。解：列表xy22100－6304－6…………22860yxx（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）2286yxx由图像知：(1)当x＝1或x＝3时，y＝0；(2)当1＜x＜3时，y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，y＜0；(4)当x＝2时，y有最大值2。xy练习3画出222yxx的图像。x…－10123…y…52125…x=1y=x2－2x＋2（3）开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。4．二次函数2yaxbxc的性质：（1）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线2bxa2bxa24-,4acbya最小＝2bxa24-;4acbya最大＝如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：2bxa2bxa2bxa2bxa①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性：与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点①抛物线2yaxbxc2yaxbxc12,0,,0xx12,xx20axbxc②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线的根的判别式判定：①△＞0有两个交点抛物线与x轴相交；②△＝0有一个交点抛物线与x轴相切；③△＜0没有交点抛物线与x轴相离。例4已知抛物线247,yxkxk①k取何值时，抛物线经过原点；②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以200407kk40221kba，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即22417440441kkacba24120kk122,6kk，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。22417440441kkacba所以当x＝2时，。解法一（配方法）：2281yxx22277x7y最小值＝－2241xx224441xx例5当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为所以当x＝2时，。因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，2281yxx224218842,7222442bacbaa－7y最小值＝－总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。211322yxx解法一：，102a∴抛物线开口向下，21169922xx21913222x21352x∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。211322yxx102a331222ba解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。例7已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．21041322041mmmmm，①②由②解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为21111232,222yxx。21122yxx即相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若a①a＞0开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0开口向下。5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线2bxa③若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0对称轴为y轴，②若a，b同号对称轴在y轴左侧，5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)，①c＝0抛物线经过原点；②c＞0与y轴交于正半轴；③c＜0与y轴交于负半轴。例8已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以02ba，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即12ba判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号