二次函数的实际应用

一、说教材1.教学内容的地位、作用和意义二次函数的实际应用是课标版教材第九册第二十章第5节的内容，该知识是在二次函数图像及性质、二次函数解析式的确定之后学习的一个理论联系实际的内容，加强了方程等内容与函数的联系，进而培养了学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力，通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。教学目标：（1）使学生能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题；（2）培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力）。2.教学目标和教学重点、难点的确定。教学重点：（1）使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；（2）使学生掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力．二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。为了充分体现“加强主体教学的要求”结合学生的实际情况，本节课由教师创设问题情境，引发学生思考，经过学生的自主探究与小组合作交流完成数学建模过程，从而解决实际问题。为了直观地反映一些数量关系，便于学生观察，我运用了计算机辅助教学。二、教学方法、学法及教学手段的选择三、关于教学过程的设计：设计思路：教师创设问题情境→学生自主+合作完成数学建模→一题多解思维拓展→掌握建模关键点形成解题技能联想到抛物线的生活实际问题0A问题１：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？BAC本题是涉及公园美化的应用性问题。设计意图：1）激发学生学习数学的兴趣。2）通过引导学生讨论，提高学生将文字信息准确转化为数学语言的能力，和将实际问题抽象为数学问题的能力。(一题多解)教学过程设计：水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图象，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。引导学生正确建立坐标系后，师生合作完成解题过程.再针对不同建立坐标系的方法进行比较，从而确定：以OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴，点O为原点可作为最好选择。指导关键点：1）根据题目条件该如何建立直角坐标系．解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为Ｂ，水流落水处与x轴交于Ｃ点。由题意可知:XY0BCA设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+2.25Ａ（0，1.25）、Ｂ（1，2.25）、Ｃ（x0，0）BAC教学过程设计：水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图象，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。引导学生正确建立坐标系后，师生合作完成解题过程.再针对不同建立坐标系的方法进行比较，从而确定：以OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴，点O为原点可作为最好选择。2）使学生明确求水池半径的最小值要转化到求二次函数图象与x轴交点C的坐标即可。(板书完整解题过程)0BCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点。由题意可知A（0，1.25）、B（1，2.25）、C（x0，0）XY设抛物线为y=a(x－1)2+2.25(a≠0),点A坐标代入，得a=－1当y=0时，x１=－0.5（舍去），x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米。x１=－0.5（舍去）∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25XY0A解思：如图建立坐标系，设抛物线顶点为Ｂ,水流落水处为Ｃ点。由题意可知:BCＡ（0，0）、Ｂ（1，1）、Ｃ（x0，-1.25）设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+1OBC教学过程设计：水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图像，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。引导学生正确建立坐标系后，师生合作完成解题过程.再针对不同建立坐标系的方法进行比较，从而确定：以OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴，点O为原点可作为最好选择。XY0BCA解思：如图建立坐标系，设抛物线顶点为Ｂ，水流落水处为Ｃ点。由题意可知:Ｃ（x0，-2.25）Ｂ（0，0）、Ａ（-1，-1）、设抛物线的解析式为：y=ax2AC教学过程设计：水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图像，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。引导学生正确建立坐标系后，师生合作完成解题过程.再针对不同建立坐标系的方法进行比较，从而确定：以OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴，点O为原点可作为最好选择。解思：如图建立坐标系，设抛物线顶点为Ｂ，水流落水处为Ｃ点。由题意可知:XY0BCAＢ（x0＋１，2.25）Ｃ（0，0）、Ａ（x0，1.25）、设抛物线的解析式为：y=ax2＋bxA教学过程设计：水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图像，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。引导学生正确建立坐标系后，师生合作完成解题过程.再针对不同建立坐标系的方法进行比较，从而确定：以OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴，点O为原点可作为最好选择。借助二次函数的图象和性质解决有关生活实际问题的基本方法：数学模型（二次函数的图象和性质）实际问题转化回归转化关键点：正确建立直角坐标系a）能够将实际距离（准确的）转化为点的坐标；b）选择运算简便的方法。师生小结：设计意图：1)训练学生转化文字信息为数学信息的能力;2)体验二次函数的图象和性质在实际问题中如何应用.（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？531．为迎接奥运，10米跳台跳水运动员加紧了训练，技术教练指出：运动员进行跳水训练时，身体（看作一个点）在空中运动路线是一条抛物线（图中数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边距离为4米，同时运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。32池边水面跳台支柱3米10米1米(1)求如图所示坐标系下经过原点的这条抛物线的解析式；yx0解思：在给定的直角坐标下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由O、B及顶点A的纵坐标，确定解析式AB5m?指导关键点：1）结合已知数据及图象确定点的坐标。2）结合图象性质对求解出的两个解析式进行取舍。3）“跳水会不会失误”是相对已知中哪个数据而言的？对应到二次函数图象需求出哪些数据？（即比较图象上横坐标为的点到水面的距离与5米的大小）58数学是来源于生活又服务于生活的.３．２米８米2．小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高１．４０米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？二次函数的图象和性质不仅可以用来解决数学问题，还可以用来解决一些生活实际问题，同学们要善于观察和思考，要有意识的提高自己应用数学知识解决实际问题的能力，做到学数学用数学．布置作业：1、例题的课后思考2、第二道巩固练习（用简单的建系方法解决问题）结束语:通过二次函数的实际应用练习，使学生认识到数学来源于生活又服务于生活的规律，是我这节课的设计原则。但由于经验欠缺，其中必然会有不足之处，请各位老师给与批评指正，使我在今后的教学中加以改进。谢谢！