同济六版高等数学第八章第三节课件

一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面§7.3曲面及其方程上页下页铃结束返回首页四、二次曲面上页下页铃结束返回首页一、曲面方程的概念在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的图形.(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0,曲面方程的定义如果曲面S与三元方程F(x,y,z)0有下述关系:下页上页下页铃结束返回首页例1建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程.解设M(x,y,z)是球面上的任一点,那么|M0M|R,或(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2.因为球面上的点的坐标一定满足上述方程,而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程,所以上述方程就是所求的球面的方程.下页即Rzzyyxx202020)()()(,上页下页铃结束返回首页例2设有点A(1,2,3)和B(2,1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.由题意知道,所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹.设M(x,y,z)为所求平面上的任一点,则有|AM||BM|,等式两边平方,然后化简得2x6y2z70.这就是所求的平面的方程.下页解即222222)4()1()2()3()2()1(zyxzyx.上页下页铃结束返回首页(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.研究曲面的两个基本问题通过配方,原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25.一般地,三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0的图形就是一个球面.首页例3方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？解这是一个球面方程,球心在点)0,2,1(0M、半径为5R.上页下页铃结束返回首页二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴.下页例如:上页下页铃结束返回首页建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),,(zyxM当绕z轴旋转时,0),(11zyf,),,0(111CzyM若点给定yoz面上曲线C:),,0(111zyM),,(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC上页下页铃结束返回首页下页提问:曲线f(y,z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf上页下页铃结束返回首页将方程zycot中的y改成22yx,得例4试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面的方程.解在坐标面yOz内,与z轴夹角为的直线的方程为zycot,或z2a2(x2y2),这就是所求的圆锥面的方程,其中acot.下页曲线f(y,z)0绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程为0),(22zyxf.cot22yxz,上页下页铃结束返回首页绕x轴和z轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为解旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面首页例5将zOx坐标面上的双曲线12222czax分别绕x轴和z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.例5122222czyax,122222czayx.122222czyax,122222czayx.上页下页铃结束返回首页三、柱面在空间直角坐标系中,过xOy面上的圆x2y2R2作平行于z轴的直线l,则直线l上的点都满足方程x2y2R2,这说明直线l一定在x2y2R2表示的曲面上.例6方程x2y2R2表示怎样的曲面？因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的.这曲面叫做圆柱面,xOy面上的圆x2y2R2叫做它的准线,这平行于z轴的直线l叫做它的母线.下页解上页下页铃结束返回首页平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线.柱面上面我们看到,不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线是xOy面上的圆x2y2R2.一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)0.下页上页下页铃结束返回首页方程y22x表示母线平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的抛物线y22x,该柱面叫做抛物柱面.方程xy0表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面的直线xy0,所以它是过z轴的平面.柱面举例下页上页下页铃结束返回首页在空间直角坐标系中,方程G(x,z)0和方程H(y,z)0分别表示什么柱面？方程xz0表示什么柱面？•讨论方程G(x,z)0表示母线平行于y轴的柱面.方程H(y,z)0表示母线平行于x轴的柱面.方程xz0表示母线平行于y轴的柱面,其准线是zOx面上的直线xz0.所以它是过y轴的平面.•提示首页上页下页铃结束返回首页xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l上页下页铃结束返回首页四、二次曲面下页三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法，伸缩法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为0)上页下页铃结束返回首页了解曲面的形状的方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线的形状,然后加以综合,从而了解曲面的立体形状.这种方法叫做截痕法.研究曲面的一种方法——截痕法上页下页铃结束返回首页研究曲面的一种方法——伸缩变形法设S是一个曲面,其方程为F(x,y,z)0,S是将曲面S沿x轴方向伸缩倍所得的曲面.显然,若(x,y,z)S,则(x,y,z)S;若(x,y,z)S,则Szyx),,1(.这就是曲面S的方程为.因此,对于任意的(x,y,z)S,有0),,1(zyxF,上页下页铃结束返回首页1.椭球面),,(1222222为正数cbaczbyax倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿aby,倍轴方向伸缩沿把球面aczazyx2222,得旋转椭球面122222czayx,得椭球面1222222czbyax.•椭球面的形成上页下页铃结束返回首页),,(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby012222yczax上页下页铃结束返回首页1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,,(为正数)z上页下页铃结束返回首页2.抛物面zqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q同号)zyx特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.把zOx面上的抛物线zax22绕z轴旋转,得旋转抛物面zayx222,倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿aby,得椭圆抛物面zbyax2222.•伸缩上页下页铃结束返回首页(2)双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzpq(p,q同号)双曲抛物面与平面xt的截痕l为平面xt上的抛物线•截痕2222atzby,当t变化时,l的形状不变,位置只作平移,而l的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线22axz.上页下页铃结束返回首页3.双曲面(1)单叶双曲面by1)1上的截痕为平面1zz椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）1yyzxy),,(1222222为正数cbaczbyax1yy平面上的截痕情况:双曲线:上页下页铃结束返回首页虚轴平行于x轴）by1)2时,截痕为0czax)(bby或by1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z轴;1yyzxyzxy相交直线:双曲线:0上页下页铃结束返回首页(2)双叶双曲面),,(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy双曲线上的截痕为平面1xx上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面图形上页下页铃结束返回首页4.椭圆锥面),(22222为正数bazbyax•截痕1)()(2222btyatx.倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面abyzayx2222.当t0时,截痕为平面zt上的椭圆当t0时,截痕为一点(0,0,0);椭圆锥面与平面zt的截痕:•椭圆锥面的形成上页下页铃结束返回首页内容小结1.空间曲面三元方程0),,(zyxF•球面2202020)()()(Rzzyyxx•旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕z轴的旋转曲面:0),(22zyxf•柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.上页下页铃结束返回首页2.二次曲面三元二次方程),(同号qp•椭球面•抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222•双曲面:单叶双曲面2222byax1双叶双曲面2222byax1•椭圆锥面:22222zbyax上页下页铃结束返回首页5x922yx1xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习指出下列方程的图形:上页下页铃结束返回首页作业P317,9,10(1)