四3函数的增减性

§4.3函数的单调性xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xf一、单调性定理：，则有内可导在若函数),()(baxfyabBA内单调增加；在，那末如果）（),()()(baxfyxf01单调减少。内在，那末如果),()()()(baxfyxf02证：上满足拉氏定理条件，在都对])(2121,xxxfbaxx[),,()())(()()(211212xxxxfxfxf012xx001)()(fxf）（012)()(xfxf内单调增加。在),()(baxfy002)()(fxf）（012)()(xfxf内单调减少。在),()(baxfy例1、解:的单调性讨论函数1xeyx.1xey,)0,(内在,0y函数单减；,),0(内在,0y函数单增。注意:单调性是函数在一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别。).,(D函数定义域000122xxxxxxf,,sin)(如0112100)sin(lim)(/xxfx012141xxxxxf,cossin)(但02121)(kf02241221kkf)(k可以任意大，故在0点的任何邻域内，)(xf都不单调。二、单调区间求法通常函数在定义区间上不一定单调，但会在部分区间内单调。定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间导数为零的点（驻点）和不可导点，可能是函数单调区间的分界点。称为函数的单调区间。单调区间求法：可疑点，解出可疑点；数求导)()(/xf2(1)确定函数定义域；(3)用可疑点划分函数定义区间为部分区间，列表；(4)在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的单调区间。例2、解：的单调区间确定函数3129223xxxxf)(),(D函数定义域12186)(2xxxf)2)(1(6xx2121xx,可疑点只有驻点)(xf)(xf单增区间为，),(1单减区间为＋—＋),(21),(2),(21，),(1),(2例3、解：),(D函数定义域333111xxxxf)(1021xx,可疑点单减区间为，),(0单增区间为＋—),(10)(xf)(xf),(1),(10),(0),(1的单调区间确定函数xxxf3223)(—例4、证：)ln(xxx10时，恒有试证),1ln()(xxxf设)()(001xxxxf则,),[)(上单调增加在0xf)()(00fxfx时，,)ln(01xx即成立。时，)ln(xxx10注意:区间内个别点导数为零,不影响函数在该区间的单调性如：,3xy,00xy上是单调增加的。而函数在),(三、小结1、单调性判别法则来源于拉格朗日中值定理。2、定理中的区间换成闭区间或无限区间，结论也成立。3、利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式。一、填空题：1、函数xxxy12623的单增区间为________；2、函数212xxy在区间[-1,1]上单调________，在_________上单调递减；3、函数22lnxxy的单增区间为____________，单减区间为_____________二、确定下列函数的单调区间：1、xxxy1292123；2、32))(2(xaaxy(0a)；3、xxy2sin.练习题四（3）三、证明下列不等式：1、当0x时，221)1ln(1xxxx；2、当4x时，22xx；3、若0x，则361sinxxx.四、方程)0(lnaaxx有几个实根。答案