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3正投影原理投影基本知识点的投影直线的投影平面的投影投影变换本章主要内容本章内容3.1投影基本知识3.2点的投影3.3直线的投影3.4平面的投影3.5投影变换3.1投影基本知识在制图中，把光源称为投影中心，光线称为投射线，光线的射向称为投射方向，落影的平面（如地面、墙面等）称为投影面，影子的轮廓称为投影，用投影表示物体的形状和大小的方法称为投影法，用投影法画出的物体图形称为投影图，如图3.1所示。3.1.1投影的概念与分类投影分中心投影和平行投影两大类。由一点放射的投射线所产生的投影称为中心投影，如图3.2（a），由相互平行的投射线所产生的投影称为平行投影。平行投射线倾斜于投影面的称为斜投影，如图3.2（b）；平行投射线垂直于投影面的称为正投影，如图3.2（c）。用正投影法绘制出的图形称为正投影图，如图3.3所示。图3.2投影法图3.3正投影图3.1.2工程中常用的四种图示法图3.4是按中心投影法画出的透视投影图，只需一个投影面。优点：图形逼真，直观性强。缺点：作图复杂，形体的尺寸不能直接在图中度量，故不能作为施工依据，仅用于建筑设计方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。3.1.2.1透视投影图图3.4形体的透视投影图图3.5所示是轴测投影图（也称立体图），它是平行投影的一种，画图时只需一个投影面。优点：立体感强，非常直观缺点：作图较繁，表面形状在图中往往失真，度量性差，只能作为工程上的辅助图样。3.1.2.2轴测投影图图3.5形体的轴测投影图采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，按正投影方法在每个投影面上分别获得同一物体的正投影，然后按规则展开在一个平面上，便得到物体的多面正投影图，如图3.6所示。优点是作图较其他图示法简便，便于度量，工程上应用最广，但缺乏立体感。3.1.2.3正投影图图3.6形体的正投影图标高投影是一种带有数字标记的单面正投影。在建筑工程上，常用它来表示地面的形状，作图时，用一组等距离的水平面切割地面，其交线为等高线。将不同高程的等高线投影在水平的投影面上，并注出各等高线的高程，即为等高线图，也称标高投影图，如图3.7所示。3.1.2.4标高投影图图3.7标高投影图3.1.3三面正投影图图3.8中空间四个不同形状的物体，它们在同一个投影面上的正投影却是相同的。通常，采用三个相互垂直的平面作为投影面，构成三投影面体系，如图3.9所示。水平位置的平面称作水平投影面；与水平投影面垂直相交呈正立位置的平面称为正立投影面；位于右侧与H、V面均垂直相交的平面称为侧立投影面。3.1.3.1三投影面体系的建立图3.8物体的一个正投影不能确定其空间的形状图3.9三投影面的建立将物体置于H面之上，V面之前，W面之左的空间，如图3.10，按箭头所指的投影方向分别向三个投影面作正投影。由上往下在H面上得到的投影称为水平投影图（简称平面图）由前往后在V面上得到的投影称作正立投影图（简称正面图）由左往右在W面上得到的投影称作侧立投影图（简称侧面图）3.1.3.2三面正投影的形成图3.10投影图的形成为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上，需将三个相互垂直的投影面展开摊平成为一个平面。即V面保持不动，H面绕OX轴向下翻转90°，W面绕OZ轴向右翻转90°，使它们与V面处在同一平面上，如图3.11（a）。在初学投影作图时，最好将投影轴保留，并用细实线画出，如图3.11（b）。3.1.3.3三个投影面的展开图3.11投影面展开空间形体都有长、宽、高三个方向的尺度。如一个四棱柱，当它的正面确定之后，其左右两个侧面之间的垂直距离称为长度；前后两个侧面之间的垂直距离称为宽度；上下两个平面之间的垂直距离称为高度，如图3.12。三面正投影图具有下述投影规律：3.1.3.4三面正投影图的投影规律(1)投影对应规律投影对应规律是指各投影图之间在量度方向上的相互对应。平面、侧面宽相等（等宽）。(2)方位对应规律方位对应规律是指各投影图之间在方向位置上相互对应。在三面投影图中，每个投影图各反映其中四个方位的情况，即：平面图反映物体的左右和前后；正面图反映物体的左右和上下；侧面图反映物体的前后和上下，如图3.13所示。图3.12形体的长、宽、高图3.13投影图与物体的方位关系(1)作图方法与步聚先画出水平和垂直十字相交线表示投影轴，如图3.14(a)根据“三等”关系：正面图和平面图的各个相应部分用铅垂线对正(等长)；正面图和侧面图的各个相应部分用水平线拉齐(等高)，如图3.14（b）；利用平面图和侧面图的等宽关系，从O点作一条向右下斜的45°线，然后在平面图上向右引水平线，与45°线相交后再向上引铅垂线，把平面图中的宽度反映到侧面投影中去，如图3.14（c）。3.1.3.5三面正投影图的画法图3.14三面正投影图画图步骤(2)三面正投影图中的点、线、面符号为了作图准确和便于校核，作图时可把所画物体上的点、线、面用符号来标注（图3.15）。一般规定空间物体上的点用大写字母A、B、C、D…，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ…表示，面用P、Q、R…表示。点或面的投影用相应的小写字母表示。直线不另注符号，用直线两端点的符号表示，如AB直线的正面投影是a′b′。图3.15正投影图中常用的符号3.2点的投影将空间点A置于三投影面体系中，自A点分别向三个投影面作垂线（即投射线），三个垂足就是点A在三个投影面上的投影。如图3.16。用细实线将点的相邻投影连起来，如aa′、aa″称为投影连线。水平投影a与侧面投影a″不能直接相连，作图时常以图3.16(c)所示的借助斜角线或圆弧来实现这个联系。3.2.1点的三面投影图3.16点的三面投影3.2.2点的投影规律点的正面投影a′和水平投影a的连线必垂直于X轴，即aa′⊥OX；点的正面投影a′与侧面投影a″的连线必垂直于Z轴，即a′a″⊥OZ；点的水平投影a到OX轴的距离等于其侧面投影a″到OZ轴的距离，即aax=a″az；点在任何投影面上的投影仍然是点[例3.1]已知点A的两面投影a′、a，求作点A的侧面投影a″。[解]根据点的投影规律，a″的求作方法如图3.17所示。图3.17已知点的两投影作第三投影3.2.3点的坐标把三投影面体系看作空间直角坐标系，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z轴，投影面H、V、W相当于坐标平面，投影轴原点O相当于坐标系原点。如图3.19（a）所示，空间一点到三投影面的距离，就是该点的三个坐标（用小写字母x、y、z表示）。利用点的坐标就能较容易地求作点的投影及确定空间点的位置，如图3.19(b)。图3.19点的坐标[例3.2]已知点A的坐标x=18,y=10,z=15，即A（18，10，15），求作点A的三面投影图。[解]作法见图3.20。图3.20根据点的坐标作投影图当点在某一投影面上时，它的坐标必有一个为零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上；当点在某一投影轴上时，它的坐标必有两个为零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上，另一个投影则与坐标原点重合；当点在坐标原点上时，它的三个坐标均为零。特殊位置的点：[例3.3]已知点B的坐标x=20，y=0，z=10，即B（20，0，10），求作点B的三面投影图。[解]作法见图3.21。图3.21根据坐标求点的三面投影3.2.4两点的相对位置空间两点的相对位置可以用三面正投影图来标定；反之，根据点的投影也可以判断出空间两点的相对位置。在三面投影中，规定：OX轴向左、OY轴向前、OZ轴向上为三条轴的正方向。在投影图中，x坐标可确定点在三投影面体系中的左右位置，y坐标可确定点的前后位置，z坐标可确定点的上下位置。[例3.4]试判断C、D两点的相对位置。[解]如图3.22。图3.22判别两点的相对位置3.2.5重影点及可见性如果两点位于同一投射线上，则此两点在相应投影面上的投影必重叠，重叠的投影称为重影，重影的空间两点称为重影点。如图3.23中，A、B是位于同一投射线上的两点，它们在H面上的投影a和b相重叠。A在H面上为可见点，点B为不可见点。图3.23重影点[例3.5]已知点C的三面投影如图3.24（a），且点D在点C的正右方5mm，点B在点C的正下方10mm，求作D、B两点的投影，并判别重影点的可见性。[解](1)d″与c″重合，如图3.24（b）。(2)两点的水平投影b、c重合，如图3.24（c）。(3)c″可见，d″不可见，d″加上括号以示区别。从上向下投影时，c可见，b不可见，不可见的投影b加括号以示区别。图3.24求作点的投影并判别可见性3.2.6点的辅助投影为了解决某一问题，有目的地在某基本投影面上适当的地方设立一个与之垂直的投影面，借以辅助解题，这种投影面称为辅助投影面。辅助投影面上的投影，称为辅助投影。点的辅助投影如图3.25和图3.26。图3.25点的辅助投影（一）图3.26点的辅助投影（二）3.3直线的投影真实性：直线平行于投影面时，其投影仍为直线，并且反映实长，这种性质称为真实性，如图3.27（a）。积聚性：直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，这种性质称为积聚性，如图3.27（b）。收缩性：直线倾斜于投影面时，其投影仍是直线，但长度缩短，不反映实长，这种性质称为收缩性，如图3.27(c)。3.3.1直线的投影规律图3.27直线的投影3.3.2直线的三面投影首先作出直线上两端点在三个投影面上的各个投影，然后分别连接这两个端点的同面投影即为该直线的投影，如图3.28所示。图3.28作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）3.3.3各种位置直线及投影特性空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系可分为三种：投影面平行线、投影面垂直线和投影面倾斜线。前两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。3.3.3.1投影面平行线定义：指平行于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的直线。分类及投影图：投影面平行线可分为：正平线水平线侧平线这三种平行线的投影图如表3.1所示。投影特性：直线在所平行的投影面上的投影反映实长，并且该投影与投影轴的夹角(α、β、γ)等于直线对其他两个投影面的倾角。直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但其投影长度缩短。平行线空间位置的判别：一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面。表3.1投影面平行线名称水平线正平线侧平线直观图投影图3.3.3.2投影面垂直线定义：指垂直于一个投影面，而平行于另外两个投影面的直线。分类及投影图：投影面垂直线可分为：正垂线铅垂线侧垂线这三种垂直线的投影图如表3.2所示。投影特性：直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。直线在另外两个投影面上的投影同时平行于一条相应的投影轴且均反映实长。垂直线空间位置的判别：一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面。表3.2投影面垂直线名称铅垂线正垂线侧垂线直观图投影图3.3.3.3一般位置线定义：与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。投影图：一般位置线在H、V、W三个投影面上的投影如图3.28所示。投影特性：直线的三个投影仍为直线，但不反映实长；直线的各个投影都倾斜于投影轴一般位置线的判别：三个投影三个斜，定是一般位置线。图3.28作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）3.3.4直线上点的投影特性点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律，如图3.29中的K点。若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线段的同面投影成相同的比例。在图3.29中，K点把直线AB分为AK、KB两段，则有：''''AKakakakKBkbkbkb图3.29直线上的点[例3.6]已知直线AB的投影ab及a′b′，如图3.30(a)，求作直线上一点C的投影，使AC∶CB=3∶2。[解]图3.30利用定比性作直线上点的投影[例3.7]已知侧平线AB的V、H投影及线上一点K的V面投影k′，试求点K的H投影，如图3.31(a)