塑性成形原理71

第七章应力应变关系本构关系塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，其数学表达式称为本构方程或物理方程。333231232221131211ijij,,,,,,,,f6Stressesx6Strains=36Componentsinrelationship9Stressesx9Strains=81Componentsinrelationship7.1弹性变形时的应力应变关系虎克定律2EG广义虎克定律xyzyzxzxy1[()]E1[()]E1[()]Exyzvvvxyyzzxzx2G2G2GxyyxE：弹性模量Young’smodulusv：泊松比EG2(1)v剪切模量mm12Ev'z''y''xmxmx'2G12G12G1)(E1zyxijmxy'ijE212G112ijijG简记为张量形式比列及差比形式''''''12yxyyzxzxzxyzxyyzzxG12xyyzxyyzzxzxxyyzzxxyyzzxGHooke’slaw–Generalstatexxyyzzxyxyyzyzzxzx10001000100010002100E00002100000021矩阵形式对于已知应力求应变，则无系数2，对于求能量时，有系数2以代替省略的3个剪应力、应变量2222221[()()()6()]2xyyzzxxyyzzx12ijijG222222222()4()()4()()4()xyxyyzyzzxzxGGG2222222222222()()()6()2()()()6()2(1)xyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxGEv2222221()()()6()2(1)ixyyzzxxyyzzxviE令则上式对于塑性变形时，0.5vi则弹性变形时的应力应变关系的特点应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关系弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于0.57.2塑性变形时应力应变关系特点体积不变，泊松比v=0.5应力、应变为非线性关系全量应变与应力主轴不一定重合塑性变化不可逆——无单值一一对应关系——与加载路径有关对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高ABCDε,γσ,τOεCεDσSτSa)JIADBC),(ffF'FEOτσ初始屈服轨迹后继屈服轨迹不同加载路线的应力与应变b)a)应力—应变曲线b)屈服轨迹JIADBC),(ffF'FEOτσ初始屈服轨迹后继屈服轨迹b)JIADBC),(ffF'FEOτσ初始屈服轨迹后继屈服轨迹b)7.3增量理论又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。1、Levy-Mises理论材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量材料符合Mises屈服准则每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合塑性变形时体积不变s=0dddddd321zyx'ijijdd1、Levy-Mises理论材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量材料符合Mises屈服准则每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合塑性变形时体积不变s=0dddddd321zyx'ijijdd0yε'ijijdd应变增量与应力偏增量成正比d为瞬时的非负系数，加载时为变值，卸载时为0Levy-Mises方程ddddddd'xzx'xyz'xxy'zz'yy'xx差比形式dd-dd-dd-dxzxzzyzyyxyx)(ddmxxxyxmymxyddd()d()22yx2yxd)()d(d22zy2zyd)()d(d22xz2xzd)()d(d22xy2xyd66d22yz2yzd66d22zx2zxd66d22zx2yz2xy2xz2zy2yx)ddd(6)dd()dd()dd(32d])ddd(6)dd()dd()dd[(92d22zx2yz2xy2xz2zy2yx2])ddd(6)dd()dd()dd[(d2922zx2yz2xy2xz2zy2yx2)6()()()(212zx2yz2xy2xz2zy2yx)6()()()(22zx2yz2xy2xz2zy2yx22229d2d2d23d∴∵∵∴∴∴'xmxyzxyzzxzxyxyxyyzyzzxzx21dd()d[()]d32d1[()]2d1d[()]2d1d[()]23d3d3dddd222xxy平面变形0dzyxdd)](21[d)](21[dxzzx)(21yxz2、应力—应变速率方程'ijijdd'dtddtdijij23dt1d23dtd'ijij应力—应变速率方程，又称为Saint-Venant塑性流动方程)](21[zyxx)](21[xzyy)](21[yxzzxyxyyzyzzxzx3332223、Prandtl-Reuss理论弹塑性增量方程总应变增量由弹、塑性两部分组成eijpijijddd定律求微分——HookdE2-1'd2G1d'd23'ddijmijeijijpijpijmmijijijijmijijijdE2-1d'd2G1'd'ddE2-1'd2G1'dd增量理论特点Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论的差别在于前者考虑弹性变形而后者不考虑都指出了塑性应变增量与应变偏量之间的关系整个变形由各个瞬时变形累加而得，能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂的加载情况卸载时仍按虎克定律求解pijdpijdS'3'2'1O面平行于S沿着屈服表面的法线方向1234Oxy复杂加载途径7.4全量理论简单加载，各应力分量按同一比例增加小变形，和弹性变形属同一数量级应力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发；应力主轴与应变主轴重合变形体不可压缩在上述条件下，无论变形体所处的应力状态如何，应变偏张量各分量与应力偏张量各分量成正比ijijij1'''2G'ijijij1''2G'00'ijijijijc'c初始应力状态ij0'ij0C——变形过程中单调增函数，理想塑性材料，c为常数0ijijij1d'c'dd'2G0ijijijijijijij1''dd'2Gcd1''c2Gcd1()'c2G1()'2Gc积分汉基方程不考虑硬化，因此系数中的c为Const,则spsp23d23dccd)2G1('2G1令ijijij1'''2G'23'2G1由Prandtl-Reuss方程得m12Em全量理论，汉基方程材料是刚塑性时1/2G=01924年汉基提出的伊留辛发展了汉基理论小变形简单加载刚塑性变形xyzyzxzxyxyxyyzyzzxzx1[()]21[()]21[()]2323232xyzmAm1(1)=002GEvijij''ijij'塑性变形时则有与Mises方程，流动方程，广义Hook定律类似。xxyzxxyzxyz31[()]2331[()]221[()]2xEG2(1)v应力应变呈单一曲线，且呈幂函数形式7.5卸载问题在卸载过程中弹性变形恢复，而塑性变形保持不变。卸载至C点的残余应力和应变为ααεCεBABCΔεBCΔσBCσCσBε卸载应力与应变变化规律σ0加载卸载加载卸载ααACεεOOσσa)b)nBBBnB非线形弹性体即应变硬化塑性体加载与卸载规律a)非线形弹性体b)应变硬化塑性体7.6应力应变顺序对应规律塑性变形时，当主应力顺序123不变，且应变主轴方向不变时，则主应变的顺序与主应力顺序相对应，即123130,0这种规律称为应力应变顺序对应关系顺序对应关系和中间关系统称为应力应变对应规律其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断中间关系222120123123()()()mmm根据Levy-Mises方程123123()()()mmmdddd123ddd由于初始应变为零的变形过程，可视为几个阶段组成，在时间间隔t1中，应变增量为111112121131311()()()tmttmttmtdddddd在时间间隔t2中121222222232322()()()tmttmttmtdddddd在时间间隔tn中112233()()()tnmntntnmntntnmntndddddd由于主轴方向不变，各方向的应变全量（总应变）等于各阶段应变增量之和，即111221331nnnddd121211122212()()()tttnnddd1212112212122()0,()0,,()0,,,,tttnddd由于始终保持所以皆大于零12所以同理23123所以顺序对应关系得证又根据体积不变条件123022112222()()()mtmtmtnnddd若变形过程中保持13222m122,,,ddd由于皆大于零20同理可证明132220132220应力应变的中间关系130,01222123130,0,0,0,,2