复变与积分复习提纲

考试时间：2014年1月3日(如果元旦调休，以调整的通知为准)考试科目：复变函数与积分变换考试方式：闭卷考试题型：填空题(每空5分，共30分)选择题(每题5分，共20分)解答题(每题10分，共50分)•复变函数考查内容：1.复数(一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，幅角、模)2.复数的四则运算，幂与方根，连通域的概念。3.复变函数：主要考察把曲线从xy平面映到uv平面的象的求法。第一章：第二章：1.解析函数：主要考察定义和P41页的定理一和二(C－R方程)2.几个重要的初等函数的表达式(指数函数，对数函数，乘幂函数与幂函数，三角函数与双曲函数)第三章：重点是计算积分1.复变函数积分的概念(理解，掌握积分路径与积分值的关系)2.灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式解题3.理解原函数与不定积分的概念及其计算。4.掌握解析函数与调和函数的关系(已知解析函数的实部会求虚部，已知虚部会求实部)第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数1.理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗级数的定义2.掌握幂级数求法，求收敛半径(比值和根值判别法)3.使用已知级数(识记七种简单级数展开式)和间接法展开泰勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是不一样的。收敛域的求法。第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊类型的积分1.判别孤立奇点类型(掌握三种孤立起点的定义，灵活运用)，理解无穷远点的性态。2.灵活运用留数定理和几种计算规则来计算留数。掌握无穷远点的留数转化为原点的留数的方法。3.三种特殊类型的积分的计算，掌握使用条件以及如何转化为留数来计算的方法。•积分变换考查内容：第一章：重点求函数的傅立叶变换，解微分和积分方程1.理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念2.灵活应用傅里叶变换的性质(4条)和卷积定理来求傅里叶变换3.掌握微分和积分方程的傅立叶解法4.熟记若干简单的函数的傅立叶变换(傅立叶逆变换)第二章：重点求函数的拉普拉斯变换，解微分和积分方程1.理解拉普拉斯变换的概念2.灵活应用拉普拉斯变换的性质(5条)和卷积定理来求拉普拉斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法3.掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法4.熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换)331.复数z=-(cos+isin)的三角形式是()。3652.设复数z满足arg(z+2)=，arg(z-2)=,试求z.433．下列区域为有界单连通区域的是()A．0|z-i|1B．0ImzC．|z-3|+|z+3|12D．0argz4.计算复数z=327的值.5．区域0argz4在映射w=z3下的像为__________.6．Ln(-4+3i)的主值是（）7．设z=x+iy.若为解析函数，则（）A．m=-3,n=-3B．m=-3,n=1C．m=1,n=-3D．m=1,n=1z22yxyxiuzf)()(zf8.证明≠0时为调和函数，求解析函数的导数并将它表示成z的函数形式．9.对数函数w=lnz的解析区域为___________.10．求方程cosz=5在复平面上的全部解.21czzdz)1(211.设C为正向圆周|z-i|=,求I=.12.求积分C4zdzz3eI＝的值，其中C:|z|=1为正向.13．13cosizzzdze=______________.14.设C为从0到1+2i的直线段，计算积分I=CzdzRe..31)2(;23)1(:.d)2(132zzCzzzC其中求积分15．例16若)1(,3)1()1()()7(01fzzfnnnn则___________。例17求级数01)12(nnnz的收敛半径与和函数.18.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z的泰勒级数.)2)(1(12)(zzzzfz19.求在圆环域12内的罗朗展开式.例20计算dzzzzIz3342215)2()1(例21z=1是函数f(z)=1z1e的__________.（填孤立奇点的类型）例22设f(z)=zzsin，则Res［f(z),0］=______Res0,ez1=.例23z=i是f(z)=22)1z(1的____________例24（填孤立奇点的类型(若是极点说明其级数)）例25设函数22iz)1z(e)z(f则Res[f(z),-i]=____________)4z)(1z(1)z(f22)4)(1(22xxdxI例26（1）求在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分.2z2iz4e)z(f.dx4xx2cosI2例27（1）求在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分Fourier变换()cossinfttt求函数的Fourie例2r变换。)t(f3)t(2.0t,00t,te)t(ft例1求函数的傅氏变换，其中例3证明ℱ(f(t))＝(例4求积分方程||||()().ttxtexde的解已知0),sin()()(0tettutft))]()((*)1[(2100j例5)1(cht2chtch31)2t(ch1已知(试利用傅氏变换的性质，求下列函数的傅氏变换.①②()()()ftdftftAftFdt若是微分方程的解有()=例222,6ℱ[f(t)]()()FFAF2是()-的解.Laplace变换（1）（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：yyyyy210001,(),().