复变函数与积分变换

张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform§1.1复数及其运算一、复数的概念iyxz1iyx,),Re(zx)Im(zyz1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，iyxz1iyx,)Im(zyz2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform二、复数的表示法1、(复平面上的)点表示------用坐标平面上的点rθ(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。yx),(yxPxy(2)zxiy复数与点（x,y）构成一一对应关系，复数z=x+iy由（x,y）唯一确定。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform2、(复平面上的)向量表示-----OMyxMiyxz),(点22||yxrz||zrOM（1）模——的长度，记为，则（2）辐角()——与轴正向的夹角(周期性)0zoxOM()cos,sinArgzxryr记，则张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform辐角主值:a()arg()rgzz满足的辐角值（仅有一个），记作arg(z).即：-),2,1,0k(k2)zarg()z(Arg0z时，无意义的辐角不确定，：)0(0Argz注其中主值)arg(z的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示.张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform3、三角（或极坐标）表示---)sin(cosiriyxz,||22yxzrxyarctan,cosrxsinry由得4izre、指数表示——sinicosei欧拉公式5、代数表示------iyxz张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示------将扩充复平面中||z的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform三、复数的运算1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、指数式,iyxzzxiy。3、共轭复数及运算性质)Re(22zxzz),Im(22ziyizz222)][Im()][Re(||zzzzzzzyxoyyx张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform四、复数的n次方根1(cossin),22(cossin)(0,1,1)nnzrikkwzrinnkn若则wnr0k的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周n0w称为主值。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform答疑解惑答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：1、复数能否比较大小，为什么？0,0,010,iiiii设则得显然矛盾注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。i张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？答：有相同之处，但也有不同之处。加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform典型例题例1、判断下列命题是否正确？（1）（2）（3）7512ii)57arg()21arg(ii)57Re()57Im(ii（×）（∨）（×）张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform例2、求下列复数的模与辐角（1）（2）（3）（4）i3i231iii25104ni231张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform解（1）22(3)(1)2,15arg()arctan63zz（1）22321131313z32arctan)arg(z,132133)23)(23(23231iiiii（2）张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform,3144102510iiiiiii,103)1(||22z3arctan)arg(z（3）,1||z,23)arg(knz(23nkk满足的）313cossin233niinnei313arg()arctan3)23iiez(模为1,(4)张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform例3、求满足下列条件的复数z：（1）（3）izz2||,3)2arg(z（2）且3,zai2|2|z65)2arg(z张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransformzxiy解：（1）设：则222xiyxyi22321.4xxyyxi3由，得,故z=42(2)3,23212zaizaia则a的值为(-3,3)内任一实数,故满足条件的z有无穷多个.张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform132ri2322r212ri11113(3)2cossin3322zrirri设22255312cossin6622zrirri1122rz则124,43rr张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform0123zzz123zzz例4求方程的根。并将分解因式。1)1)(1(423zzzzz解∵，101z0而的根为z014z则的其余三个根即为所求014z420sin420cos14kikz得由张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransformiizk23sin23cos,33时0sin0cos1i10sin0cos,00izk时iizk2sin2cos,11时1sincos,22izk时3210,1,zzzii根为321()(1)()zzzzizzi且张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform§1.2复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程0),(yxF)()(tyytxx平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransformi2zzy,2zzx0),(yxF由代入知曲线C的方程可改写成复数形式0)2,2(izzzzFiyxz)()()(tiytxtz)(tzz若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform1()()()()(),()()ztxtiytatbxtyttzt、连续曲线——设，其中是实变量的连续函数，则表示复平面上的连续曲线C。二、简单曲线与光滑曲线222[,][()][()]0()()()tabxtytztzazbC、光滑曲线－若对，有，则称为光滑曲线。称和为曲线的起点和终点。12121213,()()()atbatbttztztztC、若对，当而有＝时，点称为曲线的重点。没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jardan）曲线。（识别曲线的类型－教材P9）张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform三、区域1、去心邻域)(0zN3、区域及分类2、内点与开集区域——连通的开集。有洞或有瑕点多连通域无瑕点无洞单连通域—、—张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。覆盖不可被半径有限的圆域无界域盖可被半径有限的圆域覆有界域——注：①闭区域的边界区域DDD，它不是区域。②任意一条简单闭曲线C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为C的内部；无界区域，称为C的外部；C，称为内部与外部的边界。（典型例题见教材8P例1.2.1，例1.2.2）张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform§1.3复变函数一、复变函数的概念1、定义)(zfw——对于集合G中给定的iyxz，总有一个（或几个）确定的复数ivuw与之对应，并称G为定义集合，而GzzfwwG),(|*称为函数值集合(值域).多值函数单值函数分类——张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform2、复变函数)(zfw与实函数的关系),(),,()(),(),(yxvvyxuuzfwvuyxwzff讨论一个复变函数)z(fw研究两个实二元函数),(),(yxvyxuu3、复变函数的单值性讨论(,),(,)uxyvxy对应的两个实二元函数的单值性讨论。张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform教材P12（例1.3.2))0(1zzw是否为单值函数iyxyyxxyxiyxiyxzivuw22222211令,iyxz,ivuw则2222,yxyvyxxu均为单值的实二元函数)0(1zzw是单值函数。故张长华复变函数与积分变换ComplexAnalysisandIntegralTransform13Pzw2教材(例1.3.3）是单值函数吗？2222()2,wuivuvuvizxiy方法一：由得yuvxvu222，均为多值的实二元函数2,,xyuywz对给定，存在两组与之对应，故是多值函数13P方法二、见教材张长华复变函数