复变函数与积分变换23

DepartmentofMathematics第三节初等多值函数7、幂函数第二章复变函数幂函数的定义:利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为当a为正实数，且z=0时，还规定)0(Lnzezwzaa由于.0az)arg,01(ln2lnzeezwikazaaazwz,0),(2Zkeika因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个数。,2时是正整数、当n性，幂函数一般是、由于对数函数的多值1.0||arg)]2(arg||ln[Lnzinnkziznznnezeezw是一个单值函数；,)(31时是正整数、当nn)]2(arg||ln[Ln111kzizznnneezw值函数；是一个n).1,,2,1,0(||2arg1nkeznkzni不同数值的个数等于数整个复平面上的多值函(。不同因子的个数)2ike幂函数的基本性质：,04时是、当;10Lnz00eez）：的整数，为互素与是有理数时，即、当0(5qqpqppkizkzizqqpqpqpqpeeez2ln)]2(arg||[lnLnz1取，当为互素，所以不难看到与由于kqp个不同的值，即这时，得到，，，qq1,210值的函数；时幂函数是一个q幂函数的基本性质：多值函数；函数是无穷是无理数或复数时，幂、当6是无理数时，有事实上，当kizkzizeeez2ln)]2(arg||[lnLnz幂函数的基本性质：时，有当)0(bbia)]2(arg||)[ln()]2(arg||[lnLnzkzizbiakzizeeez)]2(arg||ln[)]2(arg||)[ln(kzazbikzzbae例如),2,1,0(2)]2(arg1[lnLni2keeeikkiiiiiikkieee222ln2)]22(arg2[ln2Ln2222),2,1,0,(k)2lnsin2ln(cos22iek)]22)[ln1()]22(arg2)[ln1(Ln2)1(12ikikiiiieee)22(ln)22(ln22ln22lnkikkiikee),2,1,0(2222keik上解析，、幂函数在}0Re,0{Im\7zzC幂函数的基本性质：幂函数的基本性质:设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在G内解析，并且其中应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。azazwzzaezazwazaln1ddaz幂函数的基本性质:对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数az)1(nnma既约分数，azaz在G内是同一解析函数；当时，在G内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。幂函数的基本性质:例如当n是大于1的整数时，称为根式函数，它是nnzzw1nwz0z),arg(||)2(arg121)arg||(ln121ln1Zkzezeeeezwkzniniknzizniknznn的反函数。当时，有这是一个n值函数。幂函数的基本性质:在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内，它有n个不同的解析分支：它们也可以记作)1,...,1,0;arg(||)2(arg1nkzezwkznin这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。)1(21kninnezw支点:当a不是整数时，原点及无穷远点是为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线C围绕0或无穷远点。在C上任取一点，azw1z11argz1z)(lniArgzzaaezw111ln)arg(lnzazizaee1z的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。确定Argz在的一个值；相应地确定在的一个值代数支点:现在考虑下列两种情况：(1)a是有理数也即第一次回到了它从1z)1(nnm既约分数，1n21nmzw)||(lnln111iznmznmee11ln)2(lnznmnznmee1znmzw，当一点z从出发按反时针或顺时针方向连续变动n周时，argz从连续变动到而则从相应地连续变动到出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的n-1阶支点，也称n-1为阶代数支点。无穷阶支点:（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是azw当a不是整数时，由于原点和无穷远点是azw1K1D1Dazw的无穷阶支点。的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。幂函数的映射性质:关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。考虑D*内的角形，2,0a并取在D*内的一个解析分支zAarg0:)11(aazwazw幂函数的映射性质:当z描出A内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l扫过角形A，而相应的射线扫过角形0arg:zl01arg:awl01lawAarg0:1a（不包括0），w在w平面描出一条射线幂函数的映射性质:因此)11(aazw1Aaa把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。类似地，我们有，当n(1)是正整数时，)1,...,2,1,0()1(21nkezwkninn幂函数的映射性质:nzwnkwnk)1(2arg2的n个分支分别把区域D*双射成w平面的n个角形例1、作出一个含i的区域，使得函数例1：,)2)(1(zzzw)]}2Arg()1Arg(Arg[2exp{|)2)(1(|2/1zzzizzzw在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点i个的值。解：我们知道可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图例1：结论：0、1、2与无穷都是1阶支点。012012012012可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到例1：),2[因此也可以用[0，1]与作割线。012我们求函数下述的解析分支例1：在z=i的值。在z=1处，取)6)1((,)2)(1(iwzzzw,)2arg()1arg(argzzz在w的两个解析分支为：)1,0(|)2)(1(|)]2(arg)1(arg[arg22/1kezzzwikzzzi如下图，例1：,21arctan)2arg(23)1arg(,2argiii所以.1010)(31arctan24)21arctan4(24iieeiw201i例2、验证函数例2：,)1(43zzw,|)1(|)]-Arg(13Arg[44/13zziezzw在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。解：我们知道例2：01，增加变，所以不，增加2/arg)1arg(2argwzz01，增加变，所以不，增加4/3argarg2)1arg(wzz例2：结论：0、1是3阶支点，无穷远点不是支点。回到同一个分支。增加，所以也增加，增加,24/)232(arg2)1arg(2argwzz01例2：因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定,0)1arg(argzz在w的四个解析分支为：则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，),3,2,1,0(,|)1(|2)]-(1arg3[arg44/13kezzwikzzi,02arg)1arg(,argzz例2：所以),1(28)1(444iewi，变为所以，减少不变，沿时，的上沿变到下从沿曲线2/3arg2)1arg(arg)1,0(1wzzCz012C1C，为同一个分支，变为不变，所以增加的上沿变到下沿时，从沿曲线2/arg)1arg(2arg)1,0(2wzzCz.)1(43xxiw对应分支在(0,1)下沿的取值为It’sTheEnd！ThankYou！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics