复变函数与积分变换经典PPT复变函数23

xyzSNP复变函数与积分变换第二章解析函数1.解析函数的概念2.函数解析的充要条件3.初等函数4.平面场的复势5.第二章小结与习题第三节初等函数指数函数1对数函数2乘幂ɑb与幂函数31三角函数和双曲函数2反三角函数和反双曲函数3小结与思考一、指数函数1.指数函数的定义:():fz当函数在复平面内满足以下三个条件(1)();fz在复平面内处处解析(2)()();fzfz(3)Im()0,(),Re().xzfzexz当时其中,exp(cossin)zxzeyiy此函数称为复变数的指数函数记为指数函数的定义等价于关系式:|exp|,()Arg(exp)2,xzekzyk其中为任何整数.exp来表示可以用指数函数zez)sin(cosyiyeexz,exp.zez注意没有幂的意义只是代替的符号2.加法定理)exp(expexp2121zzzz证,,222111iyxziyxz设21expexpzz左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx)]sincoscos[(sin)]sinsincos[(cos2121212121yyyyiyyyyexx)]sin()[cos(212121yyiyyexx.)exp(21右端zz,exp,的周期性可以推出根据加法定理z,2expikz的周期是.22zikzikzeeee即)(为任何整数其中k.所没有的该性质是实变指数函数xe例1);Re()3(;)2(;)1(,122zzzieeeiyxz求设解)sin(cosyiyeeexiyxz因为.cos)Re(,yeeeexzxz实部所以其模zie2)1()(2iyxie,)21(2yixe;22xziee2)2(ze2)(iyxe,222xyiyxe;222yxzeeze1)3(yixe1,2222yxyiyxxe.cos)Re(22122yxyeeyxxz例2解求出下列复数的辐角主值:).π20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322iiiiiieeeeee)sin(cos的辐角因为yiyeeexiyxzArg2()zeykk为整数.],(-arg内的一个辐角为区间其辐角主值ze)1(2Arg12,iek2Arg1;ie)2(23Arg32,iek23Arg3;ie34Arg42,iek34Arg42;ie34Arg42,iek34Arg42;ieiiee)5(;)3(43ie;)4(43ie)sin(cossincosii)sin(sin)cos(cosi2sin2cos22sin2sin2i2cos2sin2sin2i2πsin2πcos2sin2iπ,20因为,02sin.的三角表示式上式就是复数iieeArg()iiee所以,π22πk,π时当Arg()iiee,2π,π时当Arg()iiee.π22π例3　　的周期求函数.)(5zezf解,2ikez的周期是5)(zezfikze25510ikze　　的周期是故函数.10)(5ikezfz),10(ikzf二、对数函数1.定义(0)(),Lnlnarg.wezzwfzwzziz满足方程的函数称为对数函数记为arg,(),2π.zwfzi由于为多值函数所以对数函数也是多值函数并且每两值相差的整数倍Lnlnargargarg,zzizzz如果将中取主值LnlnLn.zzz那末为一单值函数，记为，称为的主值.arglnlnzizz其余各值为),,2,1(2lnLnkikzz,,Ln.kz对于每一个固定的上式确定一个单值函数称为的一个分支特殊地,0,Lnlnln,.zxzzx当时的主值是实变数对数函数例4解.)1(Ln,2Ln以及与它们相应的主值求,22ln2Lnik因为ln2.Ln2的主值就是所以)1(Arg1ln)1(Lni因为)()12(为整数kik.1)Ln(i的主值就是所以注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例5解.031iez解方程,31iez因为)31(Lniz所以kii2331lnki232ln),2,1,0(k例6解:(1)Ln(23);(2)Ln(33);(3)Ln(3).ii求下列各式的值)32((1)Lni)32(Arg32lniii13ln13Arctan2.22ik),2,1,0(k.6232lnki),2,1,0(k)3(Ln)3()3(Arg3lni.)12(3lnik),2,1,0(k)33(Ln)2(i)33(Arg33lniiiki233arctan32ln2.性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz,LnLnLn)2(2121zzzz且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴,,,)()3(.1)Ln(,1)(lnzzzz证(3),iyxz设,0时当x0limArg,yz0limArg,yz.ln,,处处连续在复平面内其它点除原点与负实轴所以zArgln,wzezwz在区域内的反函数是单值的wezzwdd1dlnd[证毕].1z三、乘幂与幂函数ba1.乘幂的定义,,,Lnabbeaba定义为乘幂复数为任意一个为不等于零的一个复数设.Lnabbea即注意:.,)2arg(lnLn也是多值的因而是多值的由于bakaiaa,)1(为整数时当bLnabbea)]2arg([lnkaiabeikbaiabe2)arg(ln,lnabe.具有单一的值ba,0),()2(时为互质的整数与当qqpqpb)]2arg([lnkaiaqpbea)2arg(lnkaqpiaqpelncos(Arg2π)sin(Arg2π)paqppeakiakqq,个值具有qab.)1(,,2,1,0时相应的值即取qk特殊情况:,)()1时正整数当nbLnanneaLnLnLnaaae)(项指数nLnLnLnaaaeee)(个因子n.aaa)(个因子n,)(1)2时分数当nbLn11annea1lnArg2Arg2cossinanakakeinn1Arg2Arg2cossinnakakainn,na.)1(,,2,1,0nk其中;,bzwza就得到一般的幂函数为一复变数如果.,11nnnnzzwwzzwnnb的反函数及数就分别得到通常的幂函时与当例7.12的值和求ii解Ln1221e22ike)22sin()22cos(kik.,2,1,0k其中iiieiLnikiie22ke22.,2,1,0k其中答案课堂练习.3)(5计算),2,1,0(].)12(5sin)12(5[cos3)3(55kkik例8.)(1的辐角的主值求ii解)Ln(1)1(iiieiikiie242ln21.,2,1,0k其中)]1(Arg1ln[iiiie2ln2124ike2ln21sin2ln21cos24iekln2.21)(1的辐角的主值为故ii2.幂函数的解析性(1),nz幂函数在复平面内是单值解析的.)(1nnnzz.,)2(1个分支具有是多值函数幂函数nzn它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,nnzz1zneLn1.111nzn它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,,)1((3)也是一个多值函数两种情况外与除去幂函数nnbzwb.)(1bbbzz.,是无穷多值的为无理数或负数时当b四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义,sincosyiyeiy因为,sincosyiyeiy将两式相加与相减,得,2cosiyiyeey.2sinieeyiyiy现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.cos,2izizeez我们定义余弦函数为sin.2izizeez正弦函数为.cos,sin,是偶函数是奇函数容易证明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz.2为周期的是以正弦函数和余弦函数都例9.5sin)(的周期求zzf解,sin)2sin(zz因为,5sin)25sin(zz所以525sin)25sin(zz又因为,5sin525sinzz所以.525sin)(的周期是故zzf有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式.1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz.sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数..sin)(cos,cos)(sinzzzz,时为纯虚数当yizyyeecosyicoshychy,2.sinh2sinyiieeyiyy.sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix.cos,sin,yiyiy时当(注意：这是与实变函数完全不同的)其他复变数三角函数的定义sintan,coszzz正切函数coscot,sinzzz余切函数1sec,coszz正割函数1csc.sinzz余割函数sincos,,,.zz与和类似我们可以讨论它们的周期性奇偶性解析性例10.tan的实部与虚部确定z解zzzcossintan,iyxz设)cos()sin(yixyixyxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsinyxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin.sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx)Re(tanz)Im(tanz例11解,iyxz设.1sinhsiniz解方程)sin(sinyixzyxiyxsinhcoscoshsin,1sinhi0,coshsinyx故有1sinsinhcosyx,0coshy因为,0sinx所以,kx代入将kx1sinsinhcosyx,1sinh)1(sinhky,3,1,1,4,2,0,1kky,