复变函数第1讲

1课程名称复变函数与积分变换教材《复变函数》(四版)高教出版社《积分变换》(四版)高教出版社总学时48学时（42学时）教师姓名蒋礼课程简介[e-mail];139384633042对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。复数与复变函数、解析函数、3学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。4背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。5复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。6第一讲复数7§1复数及其代数运算§2复数的表示方法§3复数的乘幂与方根8一、复数的概念1.虚数单位:.,,称为虚数单位引入一个新数为了解方程的需要i.1:2在实数集中无解方程实例x对虚数单位的规定:;1)1(2i.)2(四则运算样的法则进行可以与实数在一起按同i92.复数:.,,为复数或我们称对于任意两实数iyxzyixzyx,,的实部和虚部分别称为其中zyx).Im(),Re(zyzx记作;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当10两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.11二、复数的代数运算,,222111iyxziyxz设两复数1.两复数的和:).()(212121yyixxzz2.两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz3.两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz124.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,zz共轭的复数记为与.,iyxziyxz则若例2.的积与计算共轭复数yixyix解))((yixyix22)(yix.22yx.,的积是一个实数两个共轭复数zz结论：135.共轭复数的性质:;)1(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)2(zz;)Im()Re()3(22zzzz).Im(2),Re(2)4(zizzzzz以上各式证明略.14例解,131iiiz设.)Im(),Re(zzzz与求iiiz131)1)(1()1(3iiiiiii,2123i,21)Im(,23)Re(zz22)Im()Re(zzzz222123.2515例解(1)512;i+化简,125)1(iyxi,2)(12522xyiyxi122,522xyyx,2,3yx).23(125ii161.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法§2复数的表示方法171.点的表示),,(yxiyxz一对有序实数易见，),(),(),(yxPiyxzyxyxP平面上的点一对有序实数任意点系，则在平面上取定直角坐标此时，表示的点，可用平面上坐标为复数.)(Pyxiyxz平面复平面或—平面虚轴—轴实轴—轴zyx)(yxPiyxz，复平面上的点点的表示：数z与点z同义.182.向量表示法00OPzzyxrOPzArg:,||||22记作辐角模：oxy(z)P(x,y)rzxy称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)OP向量,表示可以用复平面上的向量复数OPiyxz19辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，xyzz/)Argtan(0时，0把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。z=0时，辐角不确定。0,00,0arctan0,02,0arctanargyxyxxyyxRyxxyz计算argz(z≠0)的公式20当z落于一,四象限时，不变。当z落于第二象限时，加。当z落于第三象限时，减。2arctan2xy214.利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zzxyo1z2z21zz2z两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.225.复数和差的模的性质;)1(2121zzzz.)2(2121zzzz,2121故之间的距离和表示点因为zzzz1z2z21zzxyo1z2z.实轴对称的复平面内的位置是关于在和一对共轭复数zzxyoiyxziyxz23利用直角坐标与极坐标的关系,sin,cosryrx复数可以表示成)sin(cosirz复数的三角表示式再利用欧拉公式,sincosiei复数可以表示成irez复数的指数表示式6.复数的三角表示和指数表示24引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例1用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)（-∞t+∞）252)()2(izxy(z)O(0,-1)226例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz解zr)1(,4412,在第三象限因为zπ122arctan所以33arctan,65故三角表示式为,65sin65cos4iz注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.27指数表示式为.465iez5cos5sin)2(iz,1zr显然52cos5sin,103cos52sin5cos,103sin故三角表示式为,103sin103cosiz指数表示式为.103iez28二、复球面1.南极、北极的定义,0的球面点取一个与复平面切于原z,与原点重合球面上一点S,NS点直线与球面相交于另一作垂直于复平面的通过.,为南极为北极我们称SNxyPNOS29球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义¥¥303.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.¥31:的四则运算规定如下关于)(,:)1(加法)(,:)2(减法)0(,:)3(乘法)0(,0),(,,0:)4(除法321.复数的乘积与商2.复数的乘幂3.复数的方根§3复数的乘幂与方根33定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz234几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n个复数的乘积。1oxy(z)1z2z1z22z235izzizz2121,,1.1则设例,2,1,021mmArgz,2,1,0222nnArgz,2,1,022)(21kkzzArgknm22223代入上式要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.36定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明)(121212ierrzzzArgz=Argz2-Argz1即：由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）212211,iierzerz设37设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。innnerz由定义得2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）。.1nnzz定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(DeMoivre)公式。38问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω。nz记,,zeni由设iinnree有)(2,Zkknrn3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，nznkinnerz2)2sin2(cosnkinkrn)1,,2,1,0(nk39当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。nznr（见图）如)3,2,1,0()424sin424(cos2184kkikikxyo0123822i140例1解,3cos3sin),31(2121iziz已知,3sin3cos1iz因为,6sin6cos2iz