复变函数第一章2复数的乘幂与方根

1.2复数的乘幂与方根)(,212121212211iiierrzzerzerz复数乘积的指数表达式2221221iierzzzrezzz则特殊情况：,innnierzrez则幂运算）：若推广,(注:都成立。此公式对于任意整数n)(1.sincossincos棣莫弗公式ninin时，特别地，当12r)(inniee)(表示利用：将例sin,coscos311.2.1复数的乘幂解:]sinRe[coscos333i333)sin(cossincosiikkkkic3303)sin()(cos)sinsincos(sincoscos322333i2333sincoscoscos65312)(ii）（计算：例解:21ikiArg241)(421iei51)(i52)(45ie23ikiArg263)(623iei63)(i6662ie6531)(ii）（66645522iiee)(6522)()(6645ie4281ie1.2.3复数的方根(乘幂的逆运算)次方根，的为的复数称满足方程nzwnwzwn),(20。或记作nnzz1sincos,sincosiwirz设)sin(cosninwnn则sinsin,coscosrnrnnnsinsin,coscos,nnrn,2,1,0,2kkn)sin(cosnkinkrzwnn22,,,102knk)sin(cos00ninrwkn)2sin2(cos,11ninrwkn))(sin)((cos,nninnrwnknn121211)sin(cos,nninnrwnknn220122wninw)sin(cos0w2122nnwninw)sin(cos1,,1,),2sin2(cosnoknkinkrznn个。次方根共有的）复数（nnz1注:个顶点。边形的为半径的圆内接正，个值就在以原点为圆心的几何意义：nnrnznn)(2413i计算：例解:因为)sin(cos4421ii所以41i82)sin(cos424424kik),,,(3210k即)sin(cos1616280iw)sin(cos169169281iw)sin(cos16171617282iw)sin(cos16251625283iw四个根是内接于中心在原点,半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.820w2w1w3wxyi11.3平面点集平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|zz0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0|zz0|d所确定的点集为z0的去心邻域.1.3.1区域设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.例4:201rzzr圆环：0z1r2r0zr区域不是区域(不是开集)rzz0}|{}|{121zzzzS点集不是区域(不连通)1z2z如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.0M|z|M1.3.2曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.1.简单曲线,简单闭曲线设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足at1b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.)()(bzaz简单,闭)(az)(bz简单,不闭)(az)(bz非简单,不闭)()(bzaz非简单,闭2.光滑曲线,逐段光滑曲线的方程为设曲线C)(),()()(btatiytxtz为光滑曲线。曲线连续且不全为零，则称上，若在区间Ctytxa,b)('),('][由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.同时为零，则假设)('),('tytx不存在导数（斜率）)(')('txtydxdy1.3.3单连通区域,多连通区域为单连通区域；，则称区域的部分总属于闭曲线，而曲线所围成内任作一条简单是平面上一区域，若在定义：设DDDD域）。多连通区域（复连通区不是单连通的区域称为单连通域多连通域(一个整体)(带有裂痕,漏洞)1.4复变函数1.4.1复变函数的概念(实变函数在复数范围内的推广)是给定的复数集，设DwzDf复数).(Dzfwf上的复变函数，记作为定义在则称单值函数,多值函数5例3zw定义在整个复平面上的多值函数zwarg定义在除原点外整个复平面上的单值函数上的复变函数是定义在设Dzfw)(ivuwiyxz,来确定的取值由则yxvu,,),(),(yxvvyxuu),(),()(yxivyxuzfw)(zfw复变函数一一对应),(),(yxvvyxuu二元实变函数对6例2zw考察函数ivuwiyxz,令则xyiyxiyxivu2222)(对所对应的二元实变函数函数)(zfwxyvyxu222,7例两类常见的复变函数nnzazazaazPn2210)(次多项式函数为非负整数为复常数，其中，naaaaann)(,,,,0210)()(zQzP有理函数为多项式函数。其中，)(),(zQzP1.4.2复变函数的几何解释—映照vuyxzfw,,,)(个变量涉及复变函数4述函数的图像。我们需要两个平面去描平面。平面与称为我们取两个平面，分别wz,D)(0zzfwz内取一点的定义域平面上函数如果在对应。平面上有相应的点在通过0wwzfw)(与之对应。平面上有相应的点集时，取遍点集当GwDz几何意义:）。之间的一种变换（映照点集平面上到平面上点集看作是复变函数GwDzzfw)(平面z平面w0z0wDG)(zfwxyvu设函数w=z2=(x+iy)2=x2y2+i2xy,有u=x2y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz1231341wwiwIm0Re01zyzxz22Im201wxywuv1.5初等函数介绍几种常见的复变函数—指数函数,对数函数,幂函数,三角函数1.5.1指数函数在复数范围的推广是实指数函数复指数函数xzee)(1的一些性质。保留许多实指数函数xe)(2xe实指数函数ze复指数函数xzeexz,时当2121xxxxeee2121zzzzeeexxedxdezzedzde,iyxz设iyxzee则2121zzzzeeeiyzxz21,若iyxiyxzeeeeiyiyeiydde)(iyz若zzedzdeiyiyieydde)()()(iyiyiedyddyed22iyiyeedydi)(,)(iyeyg设)()]([ygygdyd22满足的微分方程得到g(y)为常数BAyByAyg,,sincos)(求得根据初始条件1000eegi)(00sincosBAiiedydedydgyiyyiyy000|)(||00cossinBAiBA,1yiyeiysincos(欧拉公式))sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz复指数函数性质:xzee)(1),,()(102kkyeArgz21212zzzzeee)(zzedzdeikze23)()]sin()[cos(kyikyex22ze为周期以周期性：ikez2振荡电路系统应用电源sVwtVscos电源交流电dtdILVIdtdVCRIVllccrr)Re(iwte此电路系统满足叠加原则.电源电流)(tV1)(tI1)(tV2)(tI2)()(tVtV21)()(tItI21)(tV复数形式)(tI)](Re[tV)](Re[tI当电路系统稳定后,电路中的电压,电流变化的频率2w最终与电源频率相一致.为常数。流都具有形式各元件对应的电压，电kkeiwt,对应的电流即可。只要计算电源iwteccIdtdVC电容:ciwtcIdtekdC)(ccIiwCV对应的等效电阻为iwCRc1电感:dtdILVlllliwLIV对应的等效电阻为iwLRl整个电路的总电阻为:iwLiwCRiwCRReff1]Re[seffiwtReI要计算的电流：1.5.2对数函数定义：:(0),wwezz若满足,wuiv记：izreuivuivieeerelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizikzki多值性lnlnargzziz-------主值例如：)(0zzLnw则性质:01201xzkixxzxzLn)(lnln)(00xzixxzxzlnlnlnikzeLnzezzLn22;)(证明:kizizikzizzLneeee22arglnarglnziezargzzzzeiArgeeLnln)()ln(kyiex2kizkiiyx2221213zLnzLnzzLn)()(2121zLnzLnzzLn)(1.5.3幂函数定义:zLnezw为除去零以外的复数为复常数，其中，zxxxeelnln为z的幂函数.性质：时，当n)arg(lnkiziznznLnneez2zinnzinznezeeargargln…单值函数时，当n11arg21zkinnnnzzez….n值函数互为质数），时当nmnm,(mnmnzz….n值函数zezLn)2arg(lnikzizeikzizeee2argln为无理数或复数时，当….无穷值函数1.5.4三角函数ieeziziz2sin2izizeezcos定义:ieexixix2sin2ixixeexcos(1)各种三角恒等式仍然成立性质:或者无界。的模可能大于1cos,sin)2(zz11cos1,2eeicos.2yyeeiyy例如:(3)类似地,可以定义其他三角函数及它们的反函数.