复变函数第二章第二节

一、指数函数1.指数函数的定义::)(个条件在复平面内满足以下三当函数zf;)((1)在复平面内处处解析zf);()((2)zfzf).Re(,)(,0)Im((3)zxezfzx其中时当)sin(cos,yiyeezxz记为的指数函数此函数称为复变数第二节初等解析函数指数函数的定义等价于关系式:)(2)(Arg,||为任何整数其中kkyeeezxz.)((3){0};\C)((2);)((1)zzzzeeezfezf的值域的定义域为注C.exp,的符号只是代替没有幂的意义注意zez2.加法定理2121zzzzeee,exp,的周期性可以推出根据加法定理z,2expikz的周期是.22zikzikzeeee即)(为任何整数其中k.所没有的该性质是实变指数函数xe例1解可能不成立。举例说明等式2121)(zzzzee则设,2/1,21ziz,)1()()(2/12/121ieeizz.2/21ieeizz.)(2121zzzzee例2);Re()3(;)2(;)1(,122zzzieeeiyxz求设解)sin(cosyiyeeexiyxz因为.cos)Re(,yeeeexzxz实部所以其模zie2)1()(2iyxie,)21(2yixe;22xziee2)2(ze2)(iyxe,222xyiyxe;222yxzeeze1)3(yixe1,2222yxyiyxxe.cos)Re(22122yxyeeyxxz二、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义,sincosyiyeiy因为,sincosyiyeiy将两式相加与相减,得,2cosiyiyeey.2sinieeyiyiy现在把它们定义推广到自变数取复值的情况：,2cos:izizeez余弦函数.2sin:ieeziziz正弦函数.cos,sin,是偶函数是奇函数容易证明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz.2为周期的是以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数..sin)(cos,cos)(sinzzzz有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式.1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz.sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix,时为纯虚数当yiz,cosh2cosyeeyiyy.sinh2sinyiieeyiyy.sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix.cos,sin,yiyiy时当(注意：这是与实变函数完全不同的)事实上，,2/2/)()cos(yyyeeeiy定的正数。就可能大于任何预先给充分大，只要)cos(iyy,cossintanzzz正切函数,sincoscotzzz余切函数,cos1seczz正割函数.sin1csczz余割函数点处解析，且平面上使分母不为零的这四个函数都在z,csc)(cot,sec)(tan22zzzz,cotcsc)(csc,tansec)(seczzzzzz.2的周期为，正割函数和余割函数周期为正切函数和余切函数的例1.tan的实部与虚部确定z解,iyxz设zzzcossintan)cos()sin(yixyixyxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsinyxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin.sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx)Re(tanz)Im(tanz其它三角函数2.双曲函数的定义,2coshzzeez为我们定义双曲余弦函数,2sinhzzeez双曲正弦函数为.tanhzzzzeeeez双曲正切函数为.cosh,sinh,是偶函数是奇函数容易证明zz它们的导数分别为,cosh)(sinhzz它们都是以为周期的周期函数,i2.sinh)(coshzz显然这些函数都是解析函数，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。思考题:实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,.1cos1sin不再成立与zz3.初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数.