复变函数第二章课件

第二章解析函数§1解析函数的概念§2函数解析的充要条件§3初等函数§1解析函数的概念1.1复变函数的导数与微分000()()limzfzzfzz注z0+⊿z趋于z0的方式是任意的.存在，则称f(z)在点z0可导，此极限称为f(z)在点z0的导数，记作•导数设函数w=f(z)在区域D内有定义，z0为D内一点，且z0+⊿z也属于D.若极限00000()()'()limzzzfzzfzdwfzdzz23若函数f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内可导.21()()?()2nfzzfzzfzxyi例（）求的导数，若（2）问是否可导？可导的性质1）可导必连续；2）复变函数的求导法则可以由实函数的求导法则平行推得.和差积商、复合函数、反函数4设函数w=f(z)在z0可导,则有00000()()limlim'()zzfzzfzwfzzz00'()(),lim()0zwfzzzz0'()()wfzzzz()().zzoz其中•微分称f′(z0)⊿z为w=f(z)在点z0的微分，或称f(z)在点z0可微，记作0'().dwfzz特别地，当f(z)=z时，dzz，则000'()'().zzdwdwfzdzfzdz或可导可微！51.2解析函数及其简单性质•解析函数若函数w=f(z)在点z0的邻域内处处可导，则称f(z)在点z0解析.若函数w=f(z)在区域D内处处可微，则称f(z)在D内解析，或称f(z)为D内的一个解析函数（或称正则函数、全纯函数）.•奇点若函数f(z)在点z0不解析，则称z0为f(z)的奇点.注f(z)在区域D内（处处）解析和在D内（处处）可导是等价的；但f(z)在某点处解析比在某点可导要强得多.6区域D内解析函数的性质（1）两个解析函数的和差积商（除去分母为0的点）仍解析，且满足数分中类似的求导法则；（2）两个解析函数的复合函数在其定义域内仍解析，且满足复合函数的求导法则：[()]()().dgfzdgdfzdzddz例221(),()2,(),fzzgzxyihzz）研究1()kzz的解析性.()2()()PzPzQz）多项式，有理分式的解析性.7柯西-黎曼方程（C.-R.方程）()(,)(,)fzuxyivxy设，,C.-R.uvuvxyyx（方程）1.3函数解析的充要条件定理一（可微的充要条件）设函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内有定义，则f(z)在D内一点可微的充要条件是1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)C.-R.uxyvxyxyuxyvxyxy（）二元函数、在点可微；（）、在点满足方程.zxiy8f(z)在点zxiy的导数公式'()uvvuuuvvfziiiixxyyxyyx定理二（函数解析的充要条件）函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析的充要条件是1(,)(,)2(,)(,)C.-R.uxyvxyDuxyvxyD（）二元函数、在内可微；（）、在内满足方程.9推论2.1（可微的充分条件）设函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内有定义，则f(z)在D内一点可微的充分条件是zxiy1(,)2(,)(,)(,)C-Rxyxyuuvvxyuxyvxyxy（）偏导数、、、在点连续；（）、在点满足..方程.推论2.2函数()(,)(,)fzuxyivxy解析的充分条件是在区域D内12(,)(,)C-RxyxyuuvvDuxyvxyD（）偏导数、、、在区域内连续；（）、在区域内满足..方程.例判断下列函数的解析性.1);2)()(cossin);3)Re()xwzfzeyiywzz2222()().fzxaxybyicxdxyy,,,()abcdfz问：常数取何值时，在复平面内处处解析？'()().fzDfzD例：试证若在区域内处处为零，则在内恒为常数例设函数10知识回顾•导数设函数w=f(z)在区域D内有定义，z0为D内一点.00000()()'()limzzzfzzfzdwfzdzz11•解析若函数w=f(z)在点z0的邻域内处处可导，则称f(z)在点z0解析.称f(z)在D内解析，若函数w=f(z)在区域D内处处可微。柯西-黎曼方程（C.-R.方程）()(,)(,)fzuxyivxy设，,C.-R.uvuvxyyx（方程）'()xxfzuiv导数公式1(,)2(,)(,)(,)C-Rxyxyuuvvxyuxyvxyxy（）偏导数、、、在点连续；（）、在点满足..方程.函数()(,)(,)fzuxyivxy在D内一点z可微函数()(,)(,)fzuxyivxy在D内一点z可微1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)C.-R.uxyvxyxyuxyvxyxy（）二元函数、在点可微；（）、在点满足方程.12(,)(,)C-RxyxyuuvvDuxyvxyD（）偏导数、、、在区域内连续；（）、在区域内满足..方程.函数()(,)(,)fzuxyivxy在D内解析函数()(,)(,)fzuxyivxy在D内解析1(,)(,)2(,)(,)C.-R.uxyvxyDuxyvxyD（）二元函数、在区域内可微；（）、在区域内满足方程.例判断下列函数的解析性.21);2)()(cossin)xwzfzeyiy'()?fz§3初等函数3.1指数函数(cossin)zxiyxeeeyiy复指数函数的性质：1(0),=zxzxyee（）当时，它与通常的实指数的定义是一致的；12122220,0;Arg2;3()';4;5zxzzzzzzzzzzkizkizeeeeykezeeeeeeeee（）（）在平面上解析，且（）（）.16Arg2().zxzeeeykk则；Z2ze例：的周期？17173.2对数函数•对数规定对数函数是指数函数的反函数.即满足方程(0,)wezz的函数w=f(z)称为对数函数，记作Ln.wzLnlnArgwzzizln(arg2)zizk或lnlnargLnzzizz其中称为的主值.方程的所有根为wez在(1)式中，对每一个固定的k，它都是一个单值函数，称为的一个分支.Lnzln2()1zkik或，（）ZLn2Ln(-1)例，18注正实数的复对数也是无穷多值的；在复数域内，负数无实对数.对数函数的基本性质1212121122Ln()LnLn,(,0,)LnLnLn.zzzzzzzzzz注LnLn1LnLnnnznzzzn不成立！！19对数函数的解析性uvwOOxyziiwzelnwzargzv在除去原点和负实轴的平面内解析，且有lnzln11wdzdedzzdw在除去原点和负实轴的平面内解析.(Ln)()kzkZ203.3幂函数Ln(ln2)20(),zzkikiwzeewekZ0,;z对C21.1kinezw（）此时，则是的单值函数.Z.122112012=,0,1,,1.kikinkinneennzwekn（）.此时只能取个不同的值，因而ln0.zwez其中是的一个主值21z（3）是一无理数或虚数.此时是无限多值的.它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内解析，且有111Ln11()'()'.znnnzezn2.ii例求1和的值及它们的主值223.4三角函数与双曲函数•正弦函数sin2izizeezi•余弦函数cos2izizeez正弦函数与余弦函数的性质：（1）当z为实数时，定义与通常的一致；（2）在z平面上是解析的，且(sin)'cos,(cos)'sinzzzz（3）遵从通常的三角恒等式；2342;sin0,1cos0(),2(6)sin1cos1(7)cos()cos,sin()sin;(8)ci.5ossnizzznnzznnzzzzzzeziz（）周期为；）；和不立（成；Z;;;Z;sin2i例求的值.24•正切函数sintancoszzz•余切函数coscotsinzzz•正割函数1seccoszz•余割函数1cscsinzz•双曲正弦sh2zzeez•双曲余弦•双曲正切shthchzzzch2zzeez253.5反三角函数和反双曲函数反正切函数11ArctanLn21izziiz反正弦函数21ArcsinLn(1)zizzi反余弦函数21ArccosLn(1)zzizi1Arcsin22Arctan(2)i例（）；（）