定积分辅导班习题课

11.用常规方法计算定积分（换元法、凑微法、拆项法、分部积分法）例1.dxex2ln01例2.101arcsindxxxx例3.dxxx21421例4.12311xedxx(0701)点拨：尽量优先用凑微分法，再结合其它方法22.分段函数的定积分（利用路径性质）例5．(0404)设则【点拨】对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间，再进行求解.21,12121,)(2xxxexfx21)1(221dxxf3同类型题例6．dxxx1123，例7．dxxx222,max，例8．dxx202sin1，例9．dxaxx10（含参量积分，要讨论a的范围）44.定积分的简化计算（利用对称性、换元、分部积分法等）例10、112007))(1(dx-eexx-xx原式10)(2dx-eex-xx10)(2-xxeexd1010)(2)(2dxeeeexxxxx101)(2)(2xxeeeee45例11、TTaadxxfdxxf0222022sin1cossin2coscosπππdxxxdxxxx2sinarctan2sinsin1120202πxxdxππ6例12、设xdttπtxf0sin)(，求πdxxf0)(.ππππxdfπxxfπxπxdxfdxxf0000)()()()()()()(2sinsin)(00ππxdxdxxπxx【点拨】f为非初等函数，先凑微分，再分部积分73.变上限积分的各种应用1）极限问题例13．求极限例14、确定常数a、b、c的值，使)0()1ln(sinlim30CCdtttxaxxbx(98.2))21(lim21xcos02exdtetx8例15.证明：当x时，无穷小量22)(xxex与102)(xtdtex是等价的。例16.（0401）把0x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（B）(A),,(B),,(C),,(D),,92)变限积分的求导问题：例17．求202)()(xdttftxdxd，其中)(tf为已知的连续函数。(92.2)例18．设f连续，存在)0(,0)0(ff，求dttxftxlnnxnnx)(1lim0120（＝nf2)0(）【点拨】变限积分求导时，被积函数不能含求导变量x，须将x从被积函数中“释放出来”。103）变限函数性质的讨论【点拨】解此类问题，只须将变限函数当作通常函数看待即可。例19.试证方程0sin1sin22102xπxπdtttdt在2,10ππ内有且仅有一实根.例20.设xf在1,0上可导，且满足1212)0(dxxfefx，试证：在1,0内至少一点ζ，使)()(ζfζf.11例21.求函数20)2()(xtdtetxf的最大值和最小值。(95.3)例22.已知函数xtxdtexf02,)(2，求)(xf，并讨论)(xf的单调性，奇偶性及函数图形的凹凸性，并求)(xf的图形的拐点和水平渐近线。（88.4.5）12例23.设函数)(xf在[0，+∞]上连续，单调不减，且0)0(f，试证函数0,00,)(1)(0xxdttftxxFxn(97.3)在[0，+∞)上连续且单调不减（其中0n）。例24.函数0,0,sin1)(023xaxdttxxfx在0x处连续，则a_______。（06.2）13例25.设函数)(xf连续，且20arctan21)2(xdttxtfx，已知1)1(f，求21)(dxxf的值。例26.设xdtttxf11ln)(，其中0x，求)1()(xfxf。(90.3)例27.设21sin)(xdtttxf，求10)(dxxxf144.积分方程（含有未知函数积分的方程）1）定限积分方程(【点拨】用积分法)例29.若函数1022)(111)(dxxfxxxf，则10)(dxxf＝________.（4）(97.3)例30.设]1,0[)(Cxf，且满足dxxfxxxf1022)(13)(，求)(xf。（221233133)(xxxxxf或）152）变限积分方程(【点拨】用微分法)例31.求连续函数)(xf，使它满足10sin)()(xxxfdtxtf（92.5）（答：Cxxxxfsincos)(）例32.（07.4）设函数f(x)具有连续的一阶导数,且满足2202)()()(xdttftxxfx求f(x)的表达公式.16例33.（07.2）设f(x)是区间[0,]4上的单调、可导函数，且满足()100cossin()sincosfxxttftdttdttt其中1f是f的反函数，求f(x).175.积分恒等式的证明解法思路:（1）变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式；（2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。（3）用中值定理18例34.设)(xf处处连续，证明：20203)0()(21)(aaadxxxfdxxfx证法1：用换元法，令tx2，则右左＝2202)(21dxxfxa证法2：将a看作变量——常数变易法作辅助函数20203)(21)()(ttdxxxfdxxfxth则02)(21)()(2223ttfttftth，0)()0()(ahhth19例35.若)()(xfTxf证明:TaaTdxxfdxxf0)()(例36.证明:xxtdtduufdttxtf000])([))((206.积分不等式的证明与积分等式的证明对应，解法思路:（1）通过定积分估值性质比较大小；（2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题－－函数的单调性；（3）利用重要不等式，如柯西不等式：dxxgdxxfdxxgxfbababa)()(])()([222222112222122221)())((bnnnbabababbbaaa21例37.设)(xf在[0,a]上连续，且0)0(f，证明：2)(20Madxxfa，其中)(max0xfMax。（93.3）证：因Mxxffxf)()0()(，故200021)()(MaxdxMdxxfdxxfaaa22例38.设)(xf在]10[，连续且递减，证明：当10时，010)()(dxxfdxxf.例39.(05.3)设)(),(xgxf在]1,0[上有连续的导函数且0)(,0)(,0)0(xgxff.证明:对]1,0[a，有agafdxxgxfdxxfxg010)1()()()()()(237.积分中值问题解法思路:通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。例40.设)(xf，)(xg在],[ba上连续，证明至少存在一个),(ba使abdxxfgdxxgf)()()()(证：作bxxadttgdttfxF)()()(，由罗尔定理即得24例41.设在],[ba上)(xf连续.且满足)()()(bfxfaf.证明:],[bac使))(())(()(cbbfacafdxxfba证：令))(())(()(xbbfaxafxF则)()()(aFdxxfbFba，由介值定理知],[bac，使badxxfcF)()(.25定积分的应用1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.26例1.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得27又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.xoy1xoy128例2.（0702）设D是位于曲线2(1,0)xayxaax下方、x轴上方的无界区域。(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(II)当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值.290510152025301.10fx()300xfx()xax2a30200()xaVaydxxadx0lnxaaxdaa00[]lnxxaaaxaadxa22.(ln)aa解：(I)==22412(ln)(2ln)()0(ln)aaaaaVaaln[ln1]0aa(II)得即a=e2().Vee（唯一的驻点）31xy224xxyo)d5(dxu故所求旋转体体积为xxxd5)2(225157516xxxVd5)2(222051uVdd2APxd2ud例3.求由xy2与24xxy所围区域绕xy2旋转所得旋转体体积.解:曲线与直线的交点坐标为),4,2(A曲线上任一点)4,(2xxxP到直线xy2的距离为),(2如图为数轴以uxyu则32例4.半径为R,密度为的球沉入深为H(H2R)的水池底,水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应]d,[xxx上球的薄片提到水面上的微功为1dWxyd2提出水面后的微功为2dW)(dg2xRxyxxRxRd))((g22xxRHxRd))((g)(220H),(yxxyxo现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度g)(0)(xRH33因此微功元素为21ddd球从水中提出所做的功为WxxRxRHRRd)()]()([2200g“偶倍奇零”xxRRd)(220])([g200RHHxoyx34例5.设有半径为R的半球形容器如图.(1)以每秒a升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0hR)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?解:过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为hR设经过t秒容器内水深为h,.)(thh则35oxyhR(1)求由题设,经过t秒后容器内的水量为而高为h的球缺的体积为半球可看作半圆绕y轴旋转而成体积元素:yxd2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有两边对t求导,得)2(2hRha)2(2hRhaat(升),36(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于yxd2微元体积:微元的重力:yxdg2薄层所需的功元素oxRyyyRyRyd))(2(g2故所求功为R0gyyyRyRd)32(3224g4Ry到池沿高度所需的功.37例6一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水。设桶底半径为R，水的比重为，求桶的一端面上所受的压力．解在端面建立坐标系如图xo取x为积分变量，],0[Rxxdxx压力元素)()(xdAxpdPydxx2,122dxxx端面上所受的压力dxxRxPR2202.323R38