对数函数及其性质习题

进入学点一学点二学点三学点四学点五学点六学点七学点八对数与指数的关系,logbaaNbN指数函数与对数函数的关系log,21121,22121.22xaayaxyyxyxyyxxxxyyx由指数函数一般用表示函数，用x表示自变量，上式变为y=log对数函数.指数函数与对数函数从对应的关系理解，是一种逆对应关系.像这样具有逆对应关系的两个函数称为互为反函数.例如：求函数的反函数解：由得、y互换得　　　　为函数的反函数指数函数图像与对几何画板.lnk数函数的图像的关系2xyx1/41/2124816-2-1012342logyxx-3-2-101231/81/41/212488642-2-4-6-8-10-5510y=f(x)hx=xgx=logxlog2fx=2x13、对数函数的图象和性质a10a1图象性质(1)定义域：(2)值域：(3)过点，即x＝1时，y＝0(4)在(0,+∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数(0,+∞)R(1,0)返回目录1.对数函数的概念函数叫做对数函数.2.对数函数的图象和性质.图在下一页y=logax(a0,且a≠1)3.对数函数y=logax(a0,且a≠1)与指数函数y=ax(a0,且a≠1)互为.它们的图象关于对称.反函数y=x函数y=logax（a0,a1）a的取值0a1a1定义域值域R图象图象特征当x0且x→0时,图象趋近于y轴正半轴.当x0且x→0时，图象趋近于y轴负半轴.单调性函数值的变化规律当0x1时，当x=1时，;当x1时,当0x1时，y0;当x=1时，y=0;当x1时，y0.),0(返回目录在y轴的右侧，过定点（1，0）在(0,+∞)上是减函数.在(0,+∞)上是增函数.y∈(0,+∞)y=0y0.返回目录学点一比较大小比较大小：（1），；（2）,;（3）,.54log2176log213log213log513.0log318.0log2【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.返回目录【解析】（1）∵函数y=在(0,+∞)上递减，又∵,∴.（2）借助y=及y=的图象，tx如图所示，在(1,+∞)内，前者在后者的下方，∴.（3）由对数函数的性质知，0,0,∴.765476log54log2121x21logx51log3log3log51210.3log310.8log20.3log310.8log2x21log返回目录【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.返回目录比较下列各组数中两个值的大小：（1）;（2）;（3）(a0，且a≠1).8.5log3.4,log222.7log1.8,log0.30.35.9log5.1,logaa返回目录（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数21,所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log23.4log28.5.（2）考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足00.31,所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log0.31.8log0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a进行讨论：当a1时，函数y=logax在(0,+∞)上是增函数，于是loga5.1loga5.9;当0a1时，函数y=logax在(0,+∞)上是减函数，于是loga5.1loga5.9.返回目录学点二求定义域求下列函数的定义域：（1）（2）3);-(4xlogy0.5).4-(16logyx1x【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.【解析】（2）由log0.5(4x-3)≥04x-30得04x-3≤1,∴x≤1.∴函数的定义域是.431,43返回目录(2)由16-4x0x2x+10得x-1x+1≠1x≠0.∴-1x0或0x2.∴函数的定义域是(-1,0)∪(0,2).【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.求下列函数的定义域：（1）y=;（2）.1-2x1-xlog0.8132logy1-3xxx返回目录(1)要使函数有意义，必须且只需x0x0log0.8x-1≥0即x≤0.82x-1≠0,x≠,∴0x≤且x≠.因此，函数的定义域是.215454,2121,021返回目录（2）要使函数有意义，必须且满足2x+30xx-10解得x13x-10x3x-10x因此，函数的定义域为(1,+∞).313223返回目录学点三求值域求下列函数的值域：（1）（2）（3）y=loga(a-ax)(a1).12);4x-(-xlogy2213);-2x-(xlogy221【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.返回目录【解析】（1）∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+16≤16,又∵-x2-4x+120,∴0-x2-4x+12≤16.∵y=logx在(0,16］上是减函数,∴y≥log16=-4.∴函数的值域为［-4,+∞).（2）∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,又∵x2-2x-30,且y=logx在(0,+∞)上是减函数,∴y∈R,∴函数的值域为实数集R.212121（3）令u=a-ax,∵u0,a1,∴axa,x1,∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x1},∵axa,且ax0,u=a-axa,∴y=loga(a-ax)logaa=1,∴函数的值域为{y|y1}.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.返回目录返回目录求值域：（1）y=log2(x2-4x+6);（2）.22xx-1logy22(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数,∴log2(x2-4x+6)≥log22=1.∴函数的值域是［1,+∞).(2)∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,∴0或≥.∴≥∴函数的值域是,22xx-1222xx-1222xx-1log2231,31log231log2返回目录学点四求最值已知f(x)=2+log3x,x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x2)的最大值及当y取最大值时x的值.【分析】要求函数y=［f(x)］2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.【解析】∵f(x)=2+log3x,∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为［1,9］,∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须1≤x2≤91≤x≤9.∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.令u=log3x，则0≤u≤1.又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数,∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13.即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最大值为13.【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法.返回目录返回目录已知x满足不等式-3≤≤,求函数f(x)=的最大值和最小值.xlog21)2(log)4xlog(22x21∵-3≤≤，即≤x≤8,∴≤log2x≤3,∵f(x)=(log2x-2)·(log2x-1)=（log2x-）2-,∴当log2x=,即x=2时，f(x)有最小值-.又∵当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2,∴f(x)min=-,f(x)max=2.2xlog21212341232414121学点五求单调区间求下列函数的单调区间：（1）f(x)=；（2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3).6)x(-2xlog221【分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决.返回目录【解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2+.∵由-2x2+x+60知-x2,∴当x∈时，随x的增大t的值增大，从而logt的值减小；当x∈时，随x的增大t的值减小，从而logt的值增大.∴函数y=log(-2x2+x+6)的单调增区间是，单调减区间是.2)41(x8492341,23-21,2412121,24141,23-（2）先求此函数的定义域，由μ=2x2-5x-30得(2x+1)(x-3)0，得x-或x3.易知y=log0.1μ是减函数，μ=2x2-5x-3在上为减函数，即x越大，μ越小，∴y=log0.1u越大；在(3,+∞)上函数μ为增函数，即x越大，μ越大，∴y=log0.1μ越小.∴原函数的单调增区间为，单调减区间为(3,+∞).21)21,-(-)21,(返回目录【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域.返回目录已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a≠1).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的单调性.（1）由ax-10得ax1，当a1时，x0;当0a1时，x0.∴当a1时，f(x)的定义域为(0,+∞);当0a1时，f(x)的定义域为(-∞,0).（2）当a1时，设0x1x2，则1,故0-1-1,即loga(-1)loga(-1).∴f(x1)f(x2)，21xxaa1xa2xa1xa2xa故当a1时，f(x)在(0,+∞)上是增函数.同理，当0a1时，f(x)在(-∞,0)上为增函数.学点六求变量范围返回目录已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切x∈R,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则f(x)能取到一切实数值.【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使μ(x)=ax2+2x+1的值恒为正值，∴a0Δ=4-4a0，1.a返回目录（2）若f(x)的值域为R，则要求μ(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).当a0时，这不可能；当a=0时，μ(x)=2x+1∈R成立；当a0时，μ(x)=ax2+2x+1要包含(0,+∞)，需a0Δ=4-4a≥0综上所述，0≤a≤1.1.a0【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.返回目录函数y=logax在x∈［2,+∞)上总有|y|1，求a的取值范围.依题意得|logax|1对一切x∈［2,+∞)都成立，当a1时，因为x≥2,所以|y|=logax1，即logaxlog22.所以1a2.当0a1时，|y|=-logax1,所以logax-1，即logaxlog2对x≥2恒成立.所以a1.综上，可知a的取值范围为a∈（,1）∪(1,2).212121学点七对数的综合应用已知函数f(x)=.（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)在(1,+∞)上是增函数.1-x1xlog21【分析】由函数的