对数及对数函数hhc

一、对数函数的概念1．一般地，我们把函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R.二、对数函数的图象与性质定义y＝logax(a0，且a≠1)底数a10a1图象定义域{x|x0}值域：R单调性增函数减函数共点性图象过点(1,0)，即loga1＝0函数值x∈(0,1)时，y∈_____；x∈[1,＋∞)时，y∈___x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1,＋∞)时，y∈____对称性y＝logax与y＝log1ax的图象关于x轴对称趋势a值越大，图像越平缓，越靠近x轴a值越小，图像越平缓，越靠近x轴•思考感悟•函数y＝ax与y＝logax的定义域与值域有什么关系？•提示：y＝ax的定义域为R，值域为(0，＋∞)，y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R，即它们的定义域和值域互换．类型一对数函数的定义域问题[例1]求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－1)＋ln4－x；(2)f(x)＝lg4－xx－3；(3)y＝log0.14x－3；(4)（2011高考江西理3）121()log(21)fxx.变式1求下列函数的定义域．(1)f(x)＝11－log3x－1；(2)f(x)＝log12x－1.例2比较下列各组数中两个值的大小：5.8log,4.3log22（1）7.2log,8.1log3.03.0（2）类型二：比较两个数的大小log5.1,log5.9(01)aaaa且（3）变式2已知下列不等式，比较m，n的大小：33logmlogn0.30.3loglogmn（1）（2）loglog(01)aamna（4）（3）loglog(1)aamna比较对数的大小，有三种具体情况：①同底数，不同真数，利用对数函数的单调性进行判断；②同真数，不同底数，利用对数换底公式转化为同底的对数；③不同底数，也不同真数，利用指数、对数互化或寻找中间量进行判断．(1)中是同真不同底的两个对数，用对数换底公式比较简便；(2)题是函数值大小的比较，一般方法是作差，寻找自变量的取值范围或临界点，再作判断．反函数定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.以后，我们所说的反函数是,xy对调后的函数，如2()xyxR的反函数是2log(0,)yxx.同理，(01)xyaaa且的反函数是log(01)ayxaa且.类型三：与对数函数有关的奇偶性例3．判断函数f(x)＝ln(x＋x2＋1)的奇偶性．2.lg()10____________fxaxfx变式已知函数＝是奇函数，则的解集为0001.21lg(1)lg(11)1111lg0011110.fxxfaxfxxxxxxxxx由函数在＝处有意义，知＝，得＝－则＝＝－．由，得，解得－【解析】(－1,0)类型四对数型函数的单调性问题例4.讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．类型五对数函数的值域、最值问题例6.已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．[例7]求函数y＝log12(3＋2x－x2)的值域．[分析]本题考查复合函数值域的求法．[解]由3＋2x－x20，得－1x3，∴函数y＝log12(3＋2x－x2)的定义域为(－1,3)．设u＝3＋2x－x2(－1x3)，则u＝－(x－1)2＋4，∵－1x3，∴u∈(0,4]．∵y＝log12u是减函数，∴y∈[－2，＋∞)．变式求下列函数的值域．(1)y＝log24x－3x－1；(2)y＝log2x－(12)x(x∈[2,4])．解：(1)∵4x－3x－1＝4＋1x－1≠4，∴4x－3x－10，且4x－3x－1≠4.∴y≠log24＝2.∴值域为{y|y≠2}．(2)由对数函数和指数函数的单调性知，该函数是[2,4]上的增函数，当x＝2时，ymin＝log22－(12)2＝34.当x＝4时，ymax＝log24－(12)4＝3116，∴值域为[34，3116]．解：(1)当a1时，由题意得logaπ－loga2＝1，所以a＝π2，∵π21，∴a＝π2符合题意．(2)当0a1时，loga2－logaπ＝1，a＝2π.∵02π1，∴a＝2π符合题意．综上所述，所求a的值为a＝π2，或a＝2π.例8.已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax的最大值比最小值大1，求a的值．•类型六对数函数的图象问题•[例9]已知a0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()例10．图中的曲线是logayx的图象，已知a的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,CCCC的a依次为___________.0xC1C2C4C31y【例11】下列大小关系正确的是（）.A.30.440.43log0.3B.30.440.4log0.33C.30.44log0.30.43D.0.434log0.330.4解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,logxxyyyx的图象，分别作出当自变量x取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log0.30.43.故选C.类型七求变量范围例12.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.例13.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，求a的取值范围．解：先求函数的定义域2－ax0，有ax2.∵a是对数的底数，故有a0，∴函数的定义域为{a|xa}．设u＝2－ax，若a∈(0,1)，当x∈[0,1]时，u是x的减函数，而y＝logau是u的减函数，那么函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，不合题意；